第八章离散时间系统的变换域分析1.ppt

3、离散时间系统的系统函数H(z) （1）、H(z) 的表示 s→z 设H(z)有m个零点： 。和n个极点： 。则： 知道了极点和零点H(z)就基本确定了， 只是差一个比例因子H0。 也可以将它分子、分母的因子在Z平面中 用矢量表示。 如果我们定义离散信号的傅里叶变换，系 统函数也可以用它的幅频特性和相频特性 来表示。也可用矢量作图的办法来估计离 散系统的幅频特性和相频特性曲线。 (2)、H(z)与离散时间系统的模拟 这是一个二阶系统的差分方程，它的模拟 方框图可以方便地作出： 模拟方框图也可根据H(z)来作。这样 作出的方框图也称为直接型模拟方框图。 引入中间变量q(k)则差分方程可写成如下 的等价形式： 将差分方程两边Z变换（不计初始条件） 可见它们没有本质的区别，只是将单位延 时器D改成Z-1，相应的变量改成Z域的变 量即可。 若将 写成级联和并联 也可画出离散系统的级联型和并联型 模拟方框图。 级联形式不是唯一的其分子分母可有不同的组合。若零点和极点中有共轭复根则分解为二次因式。另外，两种形式中的H1(z)，H2(z)，...，Hr(z) 是不同的。 由离散系统的模拟方框图也可画出它的信号流图并用流图的化简和梅森公式求出任意两个结点之间的传输值或传输函数。 (3)、H(z)与离散时间系统的稳定性 可以证明离散系统稳定的充分必要条件 是单位函数响应h(k)绝对可和： 在实际中我们通常根据H(z)的极点在Z平面中的位置来判别比较方便。如果H(z)的所有极点位于Z平面的单位园内则系统稳定；如在单位园上仅有一阶极点则系统临界稳定；如有极点位于Z平面的单位园外则系统不稳定。 如果H(z)的极点不易求得也可以用罗斯判据来判别，但罗斯判据只能判别是否有实部位正的根。 为能够使用罗斯判据可作一个影射将Z平面的单位园内影射到λ平面的左半平面，单位园外影射到λ平面的右半平面，单位园影射到λ平面的虚轴，这种影射称双线性变换。 例：判别下列方程是否有单位园外的根 （1）、 （2）、 解:（1）、作双线性变换则原方程化为： 因系数不同号所以原方程就有单位园外 的根。 罗斯数列没有符号 变化，因此λ没有 实部为正的根，即 原方程就没有单位 园外的根。 解：（2）作双线性变换则原方程化为： 计算罗斯阵列： 例：离散系统的方框图如下，已知系统初值和激励为y(0)=1 , y(1)=2 , e(k)=ε(k)。 1、画出信号流图。 2、求系统函数H(z)，并判别系统是否稳定。 3、写出系统差分方程，并求出系统零输入的初始条件yzi(0) , yzi(1)。 4、分别求出系统的零输入响应yzi(k)和零状态响应yzs(k)。 解：1、信号流图 2、求H(z) 系统不稳定。 3、差分方程 将k=-2 ,-1 代入差分方程 y(0) , y(-1) , y(-2)与激励无关，所以y(0)=yzi(0) , y(-1)=yzi(-1) , y(-2)=yzi(-2) 有第二式得 在差分方程中令激励为零可得yzi(1)=1。 4、 §8.9 离散时间系统与连续时间系统变换域分析法比较 离散时间系统 连续时间系统 1、分析工具 Z 变换 f(k) ?F(z) 将差分方程→代数方程 L 变换 f(t) ?F(s)将微分方程→代数方程 3、复平面中 的极点 Z平面中的极点： v→ Avk S平面中的极点： λ→ Aeλt 2、收敛域 以圆为边界 以收敛轴为边界 4、系统函数 离散时间系统 连续时间系统 H(z)将卷积和变成乘积 H(s)将卷积积分变成乘积 5、系统稳定性 由H(z)极点在Z平面中的位置判别，以单位圆为界 由H(s)极点在S平面中的位置判别，以虚轴为界 6、罗斯判据 作双线性变换后使用 直接使用 二、围线积分法 根据复变函数理论中的柯西(Cauchy)定理： 其中c为围绕原点的反时针方向的围线。 则： 其中闭合围线c应包含被积函数F(z)zk-1的所有极点。zr为被积函数的第r个极点。 留数的求法： 例： 求f(k)。 解： k≥0时 k0时 当k≥0时 被积函数在围线内只有一个一阶极点 a。 当k0时 被积函数在围线内有一个一阶极点 a，还有一个-k阶的极点0。 三、部分分式展开法 v1，v2，...，vn。也称F(z)的n个极点。 设D(z)=0有n个单根 则： 0，v1，v2，...，vn。展开为部分分式： 有n+1个极点 也可将极点分为三种不同情况，并记住下面几个简单的公式。 1、单根时 2、n阶重根时 3、v，v*为一对共轭复根时 或者 例1： 求右边序列f(k)。 解： 例1： 求右边序列f