07 正态分布及其应用.ppt

第六讲 正态分布及其应用 一、标准分数 标准分数（standard score），又称为基分数或Ｚ分数（Z－score），是以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数。 标准分数从分数对平均数的相对地位、该组分数的离中趋势两个方面来表示原始分数的地位。 1.标准分数的计算 标准分数的计算公式为 Ｚ分数可以表明原始分数在团体中的相对位置，因此称为相对位置量数。 把原始分数转换成Ｚ分数，就把单位不等距的和缺乏明确参照点的分数转换成以标准差为单位、以平均数为参照点的分数。 2.标准分数的性质 Ｚ分数无实际单位，是以平均数为参照点、以标准差为单位的相对量。 一组原始分数得到的Ｚ分数既有正值，也有负值，所有原始分数的Ｚ分数之和为零。 一组原始数据中，各个Ｚ分数的标准差为１。 标准正态分布的平均值为０，标准差为１。 3.标准分数的优点 可比性：标准分数以团体的平均数为基准，以标准差为单位，因而具有可比性。 可加性：标准分数使不同的原始分数具有相同的参照点，因而具有可加性。 明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。 合理性：标准分数保证了不同性质的分数在总分数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。 4、标准分数的应用 用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。 计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置。 当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。 表示标准测验分数 经过标准化的心理和教育测验，常常用标准分数表示测验结果。如果其常模分数分布接近正态分布，为了克服标准分数出现的小数、负数和不易为人们所接受等缺点，常常是将其转换成正态标准分数。转换公式为： 例如：早期智力测验中运用智力商数表示智力测查的指标 这种表示智力的方法后来被离差智商取代： 异常值的取舍 在一个正态分布中，平均数上下一定的标准差处，包含有确定百分数的数据个数。 ±1σ P＝68.26% ±2σ P＝95.45% ±3σ P＝99.73% 可以看到，在平均数上下各三个标准差的范围内，分布着全部数据的99.73%，反言之，在三个标准差之外的数据不足0.27%，因此常把“三个标准差”做为判断可疑值取舍的依据。 二．正态分布 正态分布（normal distribution）也称为常态分布，是连续型随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。 正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。拉普拉斯、高斯对正态分布的研究也做出了贡献，故有时称正态分布为高斯分布。 1．正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般公式为 2．标准正态分布曲线 将标准分数代入正态曲线函数 并且，令σ＝1 则公式变换为标准正态分布函数： 以Ｚ为横坐标，以Ｙ为纵坐标，可绘制标准正态分布曲线。 标准正态分布曲线的纵线高度Ｙ为概率密度，曲线下的面积为概率。 3．标准正态分布曲线的特点 ⑴．曲线在Ｚ＝０处达到最高点 ⑵．曲线以Ｚ＝０处为中心，双侧对称 ⑶．曲线从最高点向左右缓慢下降，向两侧无限延伸，但永不与基线相交。 ⑷．标准正态分布曲线的平均数为０，标准差为１。从Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之间几乎分布着全部数据。 ⑸．曲线的拐点为正负一个标准差处。 三．标准正态分布表及使用 1．标准正态分布表 利用积分公式可求出正态曲线下任何区间的面积，但需要计算，非常麻烦。 统计学家已编制好了标准正态分布表，使其使用非常方便。 正态分布表的特点： 表中仅列有标准正态曲线下的面积，因此，查表前应先将原始变量Ｘ转换为Ｚ。 2．已知Z值求概率 ⑴．求Ｚ＝0至某一Ｚ值之间的概率：直接查表 ⑵．求两个Ｚ值之间的概率 两Ｚ值符号相同：PZ1－Z2＝PZ2－PZ1 两Ｚ值符号相反：PZ1－Z2＝PZ2＋PZ1 ⑶．求某一Z值以上的概率 Z＞0时，PZ－∞＝0.5－PZ Z＜0时，PZ－∞＝0.5＋PZ ⑷．求某一Z值以下的概率 Z＞0时，P－∞－Z＝0.5＋PZ Z＜0时，P－∞－Z＝0.5－PZ 3．已知面积（概率）求Z值 ⑴．求Z＝0以上或以下某一面积对应的Z值：直接查表 ⑵．求与正态曲线上端或下端某一面积P相对应的Z值：先用0.5－PZ，再查表 ⑶．求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的Z值：先计算P／2，再查表 ４．已知概率Ｐ或Z值，求概率密度Y 直接查正态分布表就能得到相应的概率密度Ｙ值。 如果由概率Ｐ求Ｙ值，要注意区分已知概率是位于正态曲线的中间部分，还是两尾端部分，才能通过查表求得正确的概率密度。 四．正态分布在测验记分方面的应用 1．以标准分数表示考试成绩 比较学生的考试成绩时，使用原始分数有其不合理之处：