1.2.3同角三角函数的基本关系式.ppt

1.2.3同角三角函数的基本关系式 * * 在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值，|OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1， 根据勾股定理得sin2α+cos2α=1. 又根据三角函数的定义有sinα= ,cosα= 所以sin2α+cos2α=1. 又知tanα= ,所以 注意事项： 1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230o+cos260o≠1. 2.同角不要拘泥于形式α， ，6α等等都可以. 如sin24α+cos24α=1. 3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z. (1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值时，可以利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，求出这个角的其余三角函数值。 同角三角函数关系式的应用： (2) 此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。 4.常用变形： 在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用和变用. 例1 已知 ，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值． 分析：由平方关系可求cosα的值， 由已知条件和cosα的值可以求tanα的值， 进而用倒数关系求得cotα的值． 解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角. 例2．已知 ，求sinα、tanα的值. 分析：∵cosα＜0　　∴α是第二或第三象限角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时， 当α是第三象限角时， 例3. 已知sinα－cosα= ,180oα270o. 求tanα的值。 解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组 消去sinα，得5cos2α－ cosα－2=0， 由方程解得cosα= 或cosα= 因为180oα270o，所以cosα0，即 cosα= 代入原方程组得sinα= 于是tanα= =2. 例4 化简： 解：原式= =cosθ. 例5化简： 解：原式= 例6. 求证：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1； (2) tan2α－sin2α=tan2α·sin2α； (3) 证明：（1） 原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α) =sin2α－cos2α =sin2α－(1－sin2α) =2sin2α－1右边. 所以原等式成立. (2) 证明： 原式右边=tan2α(1－cos2α) =tan2α－tan2αcos2α =tan2α－sin2α =左边. 因此 (3) 证明：左边 =右边 ∴原等式成立. *