高等数学竞赛试题3.doc

高等数学竞赛试题 姓名: 班级: 一．设函数由方程确定，试求（10分） 二． 若 ，试确定常数的值。（10分） 三．（10分） 四．设一阶连续可导，且=0，求证：至少存在一个，使．（10分） 五．设 利用导数证明：（15分） 六．设，且 ，当时，有，试求。（15分） 七．假设曲线：（0）、轴和所围成的平面区域被曲线：分为面积相等的的两部分，其中是大于零的常数，试确定的值。（15分） 八．已知函数在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，且，证明： 存在，使得；(7分) 存在两个不同的点，，使得 (8分) 解答提示: 一. x=0,时y=1 两边对x求导,再将x=0,y=1代入即可. 二. ,且 ，故必有：.再用洛必达法则推出a=1,c=1/2 三.作变换即可 四.构造辅助函数,在区间[0 ，1]应用罗尔中值定理. 五. 构造辅助函数,证明其在(0,+ ∞)内只有一个极小值点, 故对一切都有：=＞0 六. 由，知 即 解出 代入初始条件即得 （） 七. 先求出两条曲线交点的横坐标 积分 = 又, 由知, 八.(1) 构造辅助函数，在[0 ，1]上应用零点存在定理即可. （2）利用(1)的结果,分别在[0 ,]和上对应用拉格朗日中值定理即可. 台州职业技术学院第一届高等数学竞赛试题 第6页共7页