高等数学竞赛试题及.pdf

兰州理工大学2011年高等数学竞赛试题 （洪小波提供）及解答 一、填空题(每小题2分，共12分) 1、函数 在点 处可导，则 。 2、设 ，则 。 3、 。 4、设二元函数 满足 ， ，则 。 5、由 所确定的 在点 处的全微分为 。 6、过 且平行于 的平面方程为 。 二、选择题(每小题2分，共12分) 1、把 时的无穷小量 ， ， 排列起 来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( ) ； ； ； 。 2、设 ，则 可导点的个数为( ) (A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) 无穷。 3、设 是 上可导的、周期为 的函数，且满足 ，则曲 线 在 处的切线斜率为( ) A、 ； B、0 ； C、 ； D、1。 4、设 ， 是正值连续函数，则曲线 ( ) (A) 在 上是凹的，在 上是凸的； (B) 在 上是凸的，在 上是凹的； (C) 在 上是凹的； (D) 在 上是凸的。 5、设 ，而 ，则 ( ) (A) ； (B) ； (C)4 ； (D) 2 。 6、设 ，则级数( ) A、 与 都收敛； B、 与 都发散； C、 收敛而 发散； D、 发散而 收敛。 三、计算题(每小题6分，共60分) 1、求 。 2、确定常数 ，使 。 3、设 ，其中 ， 都是二阶可导的函数，求 ， 。 4、计算 。 5、求 。 6、试求连接空间两点 和 的直线段AB绕 轴旋转所得曲面与二平面 所围立体的体积。 7、计算积分 。 8、计算曲线积分 ，其中 为椭圆 的正向。 9、求级数 的和。 10、设 为连接两点 与 的一条凸弧上的任一点，且凸弧与弦 之间的面积为 ，求此凸弧的方程。 四、证明题(第1、2小题各5分，第3小题6分，共16分) 1、设 为 上单调递增的连续函数，则 。 2、设 在区间 上具有连续的导数，且