探析解决数列不等式问题的函数策略.pdf

2017年第4期 中学数学研究 ·29· 探析解决数列不等式 问题的函数策略 浙江省绍兴鲁迅 中学 (312000) 陈少春 数列是一个定义在正整数集(或其子集)上的 ( 一1Jz 一 特殊函数，它丰富了学生所接触的函数概念的范围， + }≤一( 一)+÷= 引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的 可 南 ，，0川兰±一～2^一：一(口一一1))++ 问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思 维品质和创新意识．因此我们在解决数列问题时，可 ÷≥一(一)+÷= ，命题也 以从它的源头、本质—— 函数的角度去解决它，充 成立； 分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质 ③综上所述，该命题对所有的正整数凡都成立． 为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间 因为S=口+口22+…+0：=01一口2+02一a3 的内在联系，比如数列的放缩、单调性可以借助函数 的单调性方法放缩、判断，数列的最大 (小)项可以 +．．’+。n an+1 。-一 t，又 ·≥ ，所 以 利用函数图像的直观性来比较，从而有效地解决数 】 1 1 n 列不等式问题．下面笔者通过具体的例子尝试从函 ： 至二：：：≤至2二2殛n+2： ： 数的角度处理数列不等式问题，希望对考生处理数 列 问题有些许帮助． 1 一 、 函数单调性处理数列递推问题 ； + ≤ 1 以鲁= ≥ 数列和的不等式问题的矛盾在于数列相邻两项 的递推关系的发现，有时候从函数单调性角度去入 一 ． ． ± 一 ( ±)一 手则事半功倍． n — 一2(n+2)。 例 1 (2015年浙江理21)已知数列{口}满足 例2 (~2o15年绍兴一模理21)已知数列 {0} 口1 ： 1 满足0l=口∈(0，1)，且0an+l≤0：一口：，设6= ÷且口+1：n一a：(n∈N)． (口一0+1)0+1． (1)证明：1≤ “n+1 ≤2(n∈J7v)； (1)比较 口一口和 的大小； a 1 (2)设数列 {口 的前 n项和为 S，证 明 (2)求证 ． 。 ． ／ 。； ^√口l口2…a ≤ 鲁≤ (n∈Ⅳ (3)设 为数列{b}的前凡项和，求证： 证