重难点13数列的综合问题（数列新定义、数列与不等式、数列与函数）原卷版.docx
重难点13数列的综合问题（数列新定义、数列与不等式、数列与函数）
【目录】
考法1：数列新定义
考法2：数列与不等式
考法3：数列与函数
二、命题规律与备考策略
二、命题规律与备考策略
数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
三、题型方法考法1
三、题型方法
一、解答题
1．（2023·上海嘉定·统考一模）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
(1)求和的调和中项；
(2)已知调和数列，，，求的通项公式.
2．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
(1)已知，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
(2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列.
3．（2023下·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）对于项数为m的数列{an}，若满足：1≤a1＜a2＜?＜am，且对任意1≤i≤j≤m，aiaj与中至少有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2a3；
(3)如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{an}是否为等比数列？并说明理由．
4．（2023·上海崇明·统考一模）已知数列满足.
(1)若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；
(2)已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列；
(3)已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.
5．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立，则称是“平缓函数”.
(1)若，试判断和是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:时，恒成立)
(2)若函数是“平缓函数”，且是以1为周期的周期函数，证明:对任意的、，均有;
(3)设为定义在上函数，且存在正常数使得函数为“平缓函数”.现定义数列满足:，试证明:对任意的正整数.
6．（2023上·上海·高二上海市七宝中学校考阶段练习）已知数列．若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）．求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列．证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．
7．（2023·上海·高三专题练习）已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，．
(1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
(2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，，求的值；
(3)若数列与成“k级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．
8．（2023·上海·高三专题练习）若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”．
(1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；
(3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．
9．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．
10．（2023上·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考开学考试）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）.
(1)求的值；
(2)求当（），试用、的代数式表示()；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.
11．（2023上·上海静安·高三上海市回民中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项