数列与不等式的综合问题.doc

数列与不等式的综合问题 　　测试时间：120分钟　　　满分：150分 解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q(q≠1)，且b2＋S2＝12，q＝eq \f(S2,b2). (1)求an与bn； (2)证明：eq \f(1,3)≤eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn)eq \f(2,3). 解　(1)设{an}的公差为d，因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＋S2＝12，,q＝\f(S2,b2)，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＋6＋d＝12，,q＝\f(6＋d,q).))解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3.(4分) 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.(6分) (2)证明：因为Sn＝eq \f(n?3＋3n?,2)，(8分) 所以eq \f(1,Sn)＝eq \f(2,n?3＋3n?)＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).(10分) 故eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn)＝ eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))))) ＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1))).(12分) 因为n≥1，所以0eq \f(1,n＋1)≤eq \f(1,2)，于是eq \f(1,2)≤1－eq \f(1,n＋1)1， 所以eq \f(1,3)≤eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))eq \f(2,3)， 即eq \f(1,3)≤eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn)eq \f(2,3).(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，n∈N*. (1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))为等比数列； (2)记Sn＝eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)，若Sn100，求最大正整数n. 解　(1)证明：因为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3an)， 所以eq \f(1,an＋1)－1＝eq \f(1,3an)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1)). 又因为eq \f(1,a1)－1≠0，所以eq \f(1,an)－1≠0(n∈N*)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))为等比数列．(7分) (2)由(1)，可得eq \f(1,an)－1＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1， 所以eq \f(1,an)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋1. 所以Sn＝eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)＝n＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,32)＋…＋\f(1,3n))) ＝n＋2×eq \f(\f(1,3)－\f(1,3n＋1),1－\f(1,3))＝n＋1－eq \f(1,3n)， 若Sn100，则n＋1－eq \f(1,3n)100，所以最大正整数n的值为99.(15分) 3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝3，a3＋b5＝56，a5＋b3＝26. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若－x2＋3x