(不等式综合问题.doc

《不等式综合问题》 【知识要点】 （1）不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础，是证明不等式和求解不等式的主要依据，也是高考的重要内容，在高考中一般不单独命题，而是以其他知识（如函数、集合、充要条件等）为载体进行考查，主要体现它的基础性和工具性．若直接考查，则常以选择题和填空题形式出现． （2）不等式的解法 ①要理解“三个二次”之间的关系，熟练掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法，这是解其它不等式的基础．会解含参数的一元二次不等式． ②会解绝对值不等式，能将分式不等式转化为整式不等式（组）求解． （3）简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组． 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域．能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力． （4）均值定理：理解均值不等式的概念，掌握均值不等式的证明过程．能够利用均值不等式求函数的最值问题．能利用均值不等式解答实际问题．均值不等式应用范围非常广泛，可与高中数学大部分章节的知识进行综合考查，但在高考中的考查却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等．因此，把握均值不等式应用的前提以及均值不等式的构造是关键． （5）不等式的综合应用：能够运用不等式的性质、定理，不等式的解法及不等式的证明有关的数学问题和实际问题．不等式单独命题较少，常在函数、数列、立体几何、解析几何和应用题解题过程中涉及，加强不等式的应用能力是提高解综合问题的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识． （6）思想方法：注重思想方法的复习和应用．解决不等式问题中经常用到的思想方法有：等价转化思想、分论讨论思想、函数与方程的思想、化归思想等． 总之，学习不等式应做到立足基础、培养能力、有的放矢、重点突出、学会建模、提高素质． 【考纲要求】 了解日常生活中的不等关系，了解不等式的有关概念及其分类； 掌握不等式的性质及其应用；明确各个性质中结论成立的前提条件． 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用． 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用． 掌握用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式． 【知识结构】 一、基本不等式及应用 1、已知a，b 为正数，ab-2b-a=6，求ab，a+2b的取值范围． 2、 ． 【解】由得，代入得=， 当且仅当＝3 时取“＝”． 3、已知，求的最小值． 【解法一】由， 所以==， 当且仅当且即时取等号． 【解法二】， 所以= 当且仅当即时取等号 4、（1）已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值． 【解】（1），故．当且仅当，即时上式取等号； （2）由（1）．　　　　　　　当且仅当，即时上式取最小值，即． 二、三个“二次”及其应用． （1）若对所有实数不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对于不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】原不等式变形为，解集为， 则①，解得无解； ②时，的解集不为．故． 2、（2008年深圳一模·文科）已知抛物线与直线相切于点． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】（Ⅰ）依题意，有，． 因此，的解析式为． （Ⅱ）由（）得（），解之得 （） 由此可得且， 所以实数的取值范围是． 三、绝对值不等式 1、（08山东16）．若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 ．答案：（5，7） 2、（08广东14）．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ． 【解析】方程即，利用绝对值的几何意义（或零点分段法进行求解）可得实数的取值范围为． 3、（08浙江15）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t= ． 4、（06上海12）．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ． 【解】由x2+2