数列中的不等式(许兴华).doc

530021广西南宁三中 许兴华文集 PAGE PAGE 1 数列中的不等式 数列中的不等式是高考中的一个重要内容。本文介绍用“放缩法”证明数列中的不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。 裂项放缩 （即先放缩后裂项或先裂项再放缩） 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1已知n∈N*，求。 证明：因为，则 所以原不等式成立。 例2 已知且，求证：对所有正整数n都成立。 证明：因为，所以， 又， 所以， 综合知结论成立。 公式放缩 （利用基本不等式、二项式定理放缩） 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例3已知函数，证明：对于且都有。 证明：由题意知 又因为且，所以只须证，又因为， 所以。 例4 已知，求证：当时。 证明： 证毕。 3. 添项或舍项放缩 例5已知求证： 证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简。 例6 已知a、b、c不全为零，求证： 证明：因为 同理， 所以 4. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例7已知a、b、c为三角形的三边，求证：。 证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，， 故. 综合得。 5. 单调函数放缩 根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。 例8已知a，b∈R，求证。 证明：构造函数，首先判断其单调性，设， 因为，所以， 所以在上是增函数，取，，显然满足， 所以， 即。证毕。 6.逐项放缩或部分放缩 例9设求证： 证明：因为 所以 所以， 所以 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。 例10求证： 证明： 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 放缩法一般都比较难,放缩范围不易把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。