第七章弯曲变形1(免费阅读).ppt

单辉祖：材料力学Ⅰ 第七章 弯曲变形 * §1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形 §4 叠加法计算梁的变形 §5 简单超静定梁 ----弯曲刚度的计算 　　 梁弯曲变形的计算 目的：要控制梁的最大变形 　　　在一定的限度内。 工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。 梁的挠度，横截面的转角。 度量梁变形的参数--- 二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。 三、转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“?” 表示。 q 用“y” 表示。 q §7-1 梁变形的基本概念 挠度和转角 x y = y（x） ……挠曲线方程。 挠度向下为正；向上为负。 θ=θ(x) …… 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。 四、挠度和转角的关系 挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“?” 表示。 用“y” 表示。 q q (挠曲线为一条平坦的曲线) x 一、曲率与弯矩的关系： EI M = r 1 二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式) ……（2） →→ 三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 ? …… （ 1 ） §7-2 梁的挠曲线近似微分方程 q q M 0 0 ) ( ￠ ￠ x y 挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及 对变形的影响 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。 M 0 0 ) ( ￠ ￠ x y 结论：挠曲线近似微分方程—— x y x y §7-3 积分法计算梁的变形 步骤：（EI为常量） 1、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 右 左 C C q q = 连续条件： 右 左 C C y y = 边界条件： F （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。 4、确定挠曲线方程和转角方程 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 积分法计算梁变形的步骤 边界条件： 连续性条件： 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。 b) 写出微分方程并积分 c) 应用位移边界条件求积分常数 F x d) 确定挠曲线、转角方程 e) 自由端的挠度及转角 x=0处 : y(0) = 0 ; q (0)=0 y L q l A B x C 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 b)写出挠曲线近似微分方程并积分 c)应用位移边界条件求积分常数 d)确定挠曲线和转角方程 e)最大挠度及最大转角 ql/2 ql/2 x = 0 ： y = 0 ; x = l ： y = 0 . 例：求图示简支梁的最大挠度  和最大转角 ( EI = 常数 ） F C 解：a)建立坐标系并写出弯矩方程 b)写出微分方程并积分 例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数） 左侧段（0 ≤ x1 ≤ a）： 右侧段（a ≤ x2 ≤ L）： AC段 CB段 F C 左侧段（0≤x1≤a）： 右侧段（a≤x2≤L）： c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数 连续条件：y1(a) = y2(a), y’1(a) = y’2(a); 边界条件：y1(0) = 0 , y2(L) =0 b)写出微分方程并积分 F C 左侧段（0≤x1≤a）： 右侧段（a≤x2≤L）： d) 确定挠曲线和转角方程 e) 跨中点挠度及两端端截面的转角 d) 确定挠曲线和转角方程 两端支座处的转角—— F C 跨中点挠度 讨论：1、此梁的最大转角。 F C 当 a ＞b 时—— 讨论：2、此梁的最大挠度 F C 当 a ＞b 时——最大挠度发生在AC段 2 2 1 max 3 ) 2 ( 3 0 b