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材料力学-第七章弯曲变形上课例题

一、弯曲变形的基本概念

在材料力学中，弯曲变形是研究构件在受到横向载荷作用时，其几何形状和尺寸发生变化的力学现象。弯曲变形是工程实践中常见的一种变形形式，如桥梁、梁、柱等结构在承受载荷时都会产生弯曲变形。弯曲变形的基本概念主要包括弯曲轴、中性轴、弹性变形和塑性变形等。

弯曲轴是指构件在弯曲过程中，其轴线发生变化的轴线。在弯曲轴上，离中性轴越远的纤维承受拉应力，而离中性轴越近的纤维则承受压应力。中性轴是弯曲变形中应力为零的轴线，它将构件分为受拉区和受压区。弹性变形是指构件在弯曲过程中，当去除载荷后，构件能够恢复到原始形状的变形。塑性变形则是指构件在弯曲过程中，当去除载荷后，构件不能完全恢复到原始形状的变形。

在弯曲变形的计算中，需要考虑多种因素，如构件的材料特性、截面形状、载荷类型和大小等。根据弯曲变形的复杂程度，可以将弯曲变形分为纯弯曲和非纯弯曲。纯弯曲是指构件在弯曲过程中，其轴线仅发生弯曲，而不发生轴向拉伸或压缩。非纯弯曲则是指构件在弯曲过程中，同时发生轴向拉伸或压缩。在工程实际中，许多弯曲变形问题都属于非纯弯曲范畴。

研究弯曲变形的目的在于了解构件在弯曲载荷作用下的力学行为，为工程设计提供理论依据。通过分析弯曲变形，可以确定构件的最大应力、最大应变以及变形量等，从而评估构件的强度、刚度和稳定性。此外，弯曲变形的研究还能帮助工程师优化构件设计，提高结构的承载能力和使用寿命。

二、纯弯曲的直杆弯曲变形计算

在材料力学中，纯弯曲是指构件在弯曲过程中只受到弯曲矩的作用，而没有轴向力的作用。纯弯曲的直杆弯曲变形计算是研究弯曲变形的基础。以下将通过几个案例来介绍纯弯曲直杆的变形计算方法。

(1)假设一根长为L、半径为R的圆形截面直杆，受到一个集中力F的作用，力作用点位于杆的中点。根据弯曲理论，该杆的弯曲应力σ可以表示为σ=My/I，其中M是弯曲矩，y是离中性轴的距离，I是截面的惯性矩。通过计算，得到弯曲应力分布为从中性轴向外线性增加。在这种情况下，杆的最大弯曲应力发生在杆的边缘，其值为σ_max=F/(πR^3)。若杆的弹性模量为E，杆的弯曲变形δ可以用公式δ=(FL^3)/(3EI)计算得出。以E=200GPa，F=100kN，L=1m，R=0.01m为例，计算得到δ约为0.001m。

(2)对于一个宽为b、高为h的矩形截面直杆，在受到集中力F的作用下，其弯曲变形计算更为复杂。此时，弯曲矩M与力臂a的关系为M=Fa，其中a是力作用点到杆轴线的距离。根据矩形截面的惯性矩I和弯曲应力分布，可以计算出最大弯曲应力σ_max=Fb/(2I)。弯曲变形δ可以用公式δ=(FaL^3)/(3EI)计算。以E=210GPa，F=200kN，L=1.5m，b=0.1m，h=0.2m为例，计算得到δ约为0.0006m。

(3)实际工程中，许多构件的弯曲变形计算都涉及到复合载荷。例如，一根简支梁在两端受到集中力F的作用，同时在梁的中点受到一个集中力矩M。在这种情况下，梁的弯曲变形需要分别计算由力和力矩引起的变形，然后将两者相加。以E=210GPa，F=300kN，M=100kN·m，L=2m，b=0.15m，h=0.25m为例，计算得到梁的弯曲变形δ约为0.0024m。通过这样的计算，工程师可以确保构件在复杂载荷作用下的安全性和可靠性。

三、非纯弯曲的直杆弯曲变形计算

(1)非纯弯曲的直杆弯曲变形计算通常涉及到同时存在弯曲力和轴向力的情形。例如，一根简支梁在两端承受均布载荷，同时在梁的中点受到一个轴向压力。在这种情况下，梁的弯曲变形不仅受弯曲矩影响，还受到轴向力的影响。以一根长为L、弹性模量为E、横截面积为A的矩形截面简支梁为例，若均布载荷为q，轴向压力为P，则弯曲变形δ可以用公式δ=(qL^4)/(8EI)+(PL^3)/(3EI)计算。例如，对于E=210GPa，L=5m，A=0.015m^2，q=10kN/m，P=50kN，计算得到的弯曲变形δ约为0.004m。

(2)在实际工程中，非纯弯曲的直杆弯曲变形计算也常见于组合载荷的情况。例如，一根受拉压和弯曲同时作用的杆件。以一根长为L、弹性模量为E、横截面积为A、惯性矩为I的杆件为例，若受到轴向拉力F和弯曲矩M的作用，其弯曲变形δ可以用公式δ=(FL^3)/(3EI)+(F/A)计算。假设E=200GPa，L=2m，A=0.01m^2，F=100kN，M=30kN·m，计算得到的弯曲变形δ约为0.001m。

(3)对于非纯弯曲的直杆，其弯曲变形的计算还需要考虑材料非线性因素。例如，在大型结构中，当弯曲变形较大时，材料可能进入塑性状态。此时，弯曲变形的计算需要采用塑性变形理论。以一根长为L、弹性模量为E、横截面积为A、惯性矩为I的圆形截面