第七章弯曲变形第二节叠加法.ppt

第四节 计算弯曲变形的叠加法 （Beam deflections by superposition ） 梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就 是叠加原理. 一、叠加原理 （Superposition） 1.载荷叠加（Superposition of loads） 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和. 2.结构形式叠加（逐段刚化法） [例1] 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的作用。设梁的抗弯刚度为 EI，试用叠加法计算自由端 C 的挠度 wC 。 解： 1）在F1 和单独作用下 2）在F2 和单独作用下 [例2] 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC 。已知 BC 段梁的抗弯刚度为为 EI、AB 段梁的抗弯刚度为为 2EI。 解： 该梁可看做由悬臂梁AB和固定在横截面B上的悬臂梁BC组成 1）令AB不变形，只考虑BC变形 2）令BC 不变形，只考虑AB变形 2）令BC 不变形，只考虑AB变形 （ a ）在F作用下 （ b ）在Me作用下 2）令BC 不变形，只考虑AB变形 [例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角?C ，设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解： [例4] 如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷 q ，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 。设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解： 叠加法的要点 —— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 3）必须画出叠加变形图 2）记住常用结论 4）掌握叠加法的常用技巧 第五节 弯曲刚度计算 一、梁的刚度条件 式中，[w] 为梁的许用挠度 2. 采用合理的截面形状 选用具有较高 Iz / A 比值的截面形状 3. 减小梁的跨度 结论：工字形截面较为合理 二、提高梁的弯曲刚度的措施 1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义 [例5] 图示简支梁由 No. 18 工字钢制成，长度 l = 3 m ，受 q = 24 kN/m 的均布载荷作用。材料的弹性模量 E = 210 GPa ，许用应力 [? ] = 150 MPa ，梁的许可挠度 [w ] = l / 400 。试校核梁的强度和刚度。 解： 1）强度校核 最大弯矩 查型钢表，Wz = 186 cm3， 故梁的强度满足要求 根据弯曲正应力强度条件 2）梁的刚度校核 查型钢表，得 Iz = 1660 cm4 梁的最大挠度发生在中间截 面，为 由于 故梁的刚度满足要求 [例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [? ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。 解： 1）强度计算 最大弯矩 根据梁的正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数 2）刚度计算 最大挠度发生于跨中截面，为 根据梁的刚度条件 得梁截面对中性轴的惯性矩 查型钢表，No. 22a 工字钢的 Wz = 3.09 ? 10?4 m3、Iz = 3.40?10?5 m4 ， 同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取No. 22a 工字钢。 第六节 简单超静定梁 4. 由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。 求解简单超静定梁的基本步骤 —— 1. 解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静 定梁的相当系统； 2. 根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程； 3. 计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得 补充方程； [例3] 图示圆形截面梁，承受集中力 F 作用。已知 F = 20 kN，跨度 l = 500 mm，截面直径 d = 60 mm，材料的许用应力 [? ] = 100 MPa，试校核该梁的强度。 解： 1）解除多余约束 2）建立变形协调方程 3）建立补充方程 4）求解多余未知力 解得 作弯矩图 5） 强度计算 最大弯矩 根据梁的弯曲正应力 强度条件 结论：该梁的强度符合要求 * *