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用判别式法求值域常见错误辨析 判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x的方程应有实数解，从而求出y的值域。判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就大家容易出错的情形举例加以说明。 1 忽视对二次方程的二次项系数加以讨论 求函数y=的值域。 错解 y=, yx2+yx-6y=x2+x-1, (y-1)x2+(y-1)x-6y+1=0----------------------------------- = 1 \* GB3 ① 因为方程 = 1 \* GB3 ①是关于x的方程，它有实根的充要条件是 =(y-1)2-4(y-1)(-6y+1)0, (y-1)(5y-1) 0, y1 或y, 原函数的值域为{y| y1 或y且yR}. 分析 事实上，当y-1=0，即y=1时，方程 = 1 \* GB3 ①不再是关于x的方程了，就不能再用判别式了。正确解法是： y=, (y-1)x2+(y-1)x-6y+1=0-------- = 1 \* GB3 ① 当y-1=0，即y=1时，方程 = 1 \* GB3 ①为-5=0，恒不成立； 当y-10，即y1时，=(y-1)2-4(y-1)(-6y+1)0, (y-1)(5y-1) 0, y1 或y且y1 综上，得原函数的值域为{y| y1 或y且yR}. 2 将原函数转化为方程时为非同解变形 求函数y=x-的值域。 错解 y=x-, y-x=---------------------- = 1 \* GB3 ① (y-x)2=1-x, x2-(2y-1)x+y2-1=0--------------- = 2 \* GB3 ② 由=(2y-1)2-4(y2-1) 0,解得y，故原函数的值域为{y| y且yR}. 分析 事实上，当y=时，代入 = 2 \* GB3 ②得x=，而解法中 = 1 \* GB3 ①式到 = 2 \* GB3 ②式不是同解变形，把x=代入 = 1 \* GB3 ①式得到y=，故y=只适合于方程x-y=-，不适合原方程y-x=-。简言之，由 = 2 \* GB3 ②解得的y，仅对方程 = 2 \* GB3 ②有实根而言是正确的，但不是所给原函数的值域。本题的正确解法是： 令t=，则t0，得1-x=t2，x=1-t2, 则y=1-t-t2=-(t+)2+。又t0，t1, 故原函数的值域为{y| y1且yR}. 3 分子分母有公因式，不能转化为二次方程，则不能用判别式法 求函数y=的值域。 错解 y= (x1),----------------------- = 1 \* GB3 ① yx2-y=x2+x-2, (y-1)x2-x-y+2=0--------- = 2 \* GB3 ② 当y-1=0，即y=1时，由 = 2 \* GB3 ②得x=1（舍去），y1； 当y-10，即y1时，=1-4(y-1)(-y+2)0得(2y-3)20, yR。 综上可得，原函数的值域为{y| y1且yR}。 分析 事实上，当y=，即=时，解得x=1，而当x=1时原函数没有意义，故y。产生错误的原因在于，当x=1时，(y-1)x2-x-y+2的值等于零，所以x=1是方程 = 2 \* GB3 ②的根，但不属于原函数的定义域，所以方程 = 2 \* GB3 ②与方程 = 1 \* GB3 ①不同解，故函数y=不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。本题正确的解法是： 原函数可化为y==(x1), 即y=1+(x1), 0, 原函数的值域为且 4 用换元法转化为分式型二次函数后忽略新变量的限制条件 求函数的值域。 错解 令，则 或 显然，原函数的值域为且。 分析 事实上，当时，由方程，而显然不成立。错因在于方程中，故对方程应该是在上要有实根，而不是在整个实数集上有实根，此题可用函数的单调性求值域：易证函数在区间上是单递增的，故当时，函数取到最小值，故所求函数的值域为且。 本题也可以按以下的方法来求解：令，则 又 解得。 故所求函数的值域为且。 求函数的值域。 错解 由万能公式??? 令 原函数的值域为且。 分析 在这种解法中利用万能公式，增加了限制条件，而原函数中当且仅当时函数值等于，所以漏解。本题的正确结果为：值域为且。 总之，教师在教各种方法时，不仅要使学生会用这种方法，同时