线性系统理论 第一章.ppt

* * 第一章 线性系统的状态空间描述 状态空间描述是60年代初,将力学中的相空间法引入控制系统的研究中而形成的描述系统方法，它是时域中最详细的描述方法。 给出了系统的内部结构信息 形式上简洁，便于用数字计算机计算。 1. 1 系统的状态空间模型 例1.1 考虑电路 列出电路方程 R1 u(t) L c ic uc + _ R2 + _ uR2 右方程 左方程 整理得 以 和 为待定变量求解上述方程，得 写成向量形式 导出输出方程： 把 称为系统状态变量。系统的状态定义为表现系统时间域行为的一个最小内部变量组。 在一般情况下，一个有r个输入 m个输出的系统运动，可以描述为 为输出变量。 若 A,B,C,D 为常数，则称系统为定常系统，记为（A,B,C,D） 是 状态变量， 输出向量。 是 输入向量， 是 表示参数随时间发生变化，称为时变系统 状态方程： 输出方程： (1-1) 状态空间 输入空间 输出空间 时间集 建立系统的状态方程模型有两种方法： 机理建模 辨识建模 B A C D u + + x + + Y 1. 2 解空间 定理1.1（解的存在与唯一性定理） 初值为 ，则方程有唯一解。 先研究 情况，此时状态方程变为 （1-2） 对 ，若 f 在 T上满足Lipschitz条件， （1-2）称为系统的零输入响应 1.2.1 零输入系统 （1-3） 其中 为非奇异实常数值矩阵。 可以证明 有且仅有 个线性无关的解。任意选取 个线性无关的解，并以它们为列构成 矩阵函数 ，则 为 的一个基本解阵。 定义1.2： 的解阵 为系统的状态转移矩阵。 由（1-3）和（1-5）得 状态转移矩阵有下列的特性： 定义1.1：若 (1-4) 为状态转移矩阵 称 (1-5) 满足 定理1.2：零输入响应系统(1-2)的状态转移矩阵为 证明： 证毕。 对于时候 和 ，若 满足条件 时，状态转移矩阵可写为 (1-6) 定理1.3：设 K 为某个正常数，如果对所有的 t 有 ，则对所有的 t 和 s 有 证明：设 s 固定且 ts，因为 且 将上式从 s 到 t 积分，得 取范数为 应用格郎瓦—别尔曼不等式得 证毕。 由这个定理知，若系统的参数矩阵是有界的，则它的状态转移矩阵也是有界的。 1.2.2 非齐次方程的解 由性质4得 利用状态转移矩阵的性质，很容易求出 时的状态轨迹表达式 则有 (1-7) (1-7)中第一项为 u = 0 时由初始状态 引起的效应，称为零输入响应；第二项是当系统初态 时由输入 u 引起的效应，称为零状态响应。 从 到 t 积分后成为 由(1-5)、(1-7)可知要求得系统的运动轨迹，关键是求出系统的状态转移矩阵。对于一般的时变系统，这是一件困难的事情，大多只能依靠数值解法。 1.2.3 脉冲响应阵 在状态空间模型下，只要有了系统的状态轨迹表达式(1-7)，可由输出方程(1-1)求得输出 y 的表达式 第1项是在 u = 0 时由初始状态 后引起的状态响应在输出中的反映，称为零输入响应；第2项和第3项是初始状态 时由 u 后引起的状态响应及 u 本身在输出中的反映，称为零状态响应。 （1-8） 若成立 则称 为作用时刻为 的单位脉冲函数。 定义1.3 对单输入单输出连续线性时不变系统，零初始状态下以单位脉冲为输入的系统输出响应称为脉冲响应，表为 。 具有属性 很显然，对于单输入单输出线性时不变系统，若系统初始状态为0，则系统在任意输入 u 作用下基于脉冲响应的输出响应y(t) 的关系式为 证明：略。 对于时变系统，用 表示系统的脉冲响应。 (1-9) 定义1.4 对 r 维输入 m 维输出的连续线性时变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始状态条件下以脉冲响应