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第三章　　函数概念与性质 考点1　映射与函数 考点精析 了解映射的概念，理解函数的定义及记号；了解函数的三种表示法和分段函数。 考题回顾〔河南考题〕 1.（2009年）函数的定义域是（　　） A.（-1，1） B.［-1，） C.（-1，1］　D.［-1，1］ 解答：C 2.（2009年）若，则＝　　　　　 解答： 3.（2008年）函数y=，x∈R与函数，∈R相等（　　） 解答：√ 4.（2007年）函数的值域是　　　　 解答：［2，+∞） 5.（2007年）已知与互为反函数，则K和b的值分别为（　　） A.2，　　B.2，　　C.-2，　　D.-2， 解答：B 6.（2007年）函数与函数相等（　　） 解答：× 7.（2006年）函数的定义域是　　　　　　 解答：［3，6］ 备考指导 一、知识清单 1.函数的概念 （1）传统定义 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的定义我们称之为的传统定义。 （2）近代定义 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，x∈A 其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域，与x的值相的y的值叫做函数值，函数值的集合且叫做函数y=f(x)的值域。 注意 ①函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f:A→B，这里A，B为非空的数集； ②A：定义域：；值域，其中；f:对应法则,x∈A，y∈B； ③函数符号y=f(x)y是x的函数，简记f(x)，在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图像”； f(x)与 f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数。 （3）函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 2.映射 （1）定义：设A、B是两个集合，如果按照某种法则f,对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B. 给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，bB，如果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的像，元素a叫做元素b的原像. （2）映射定义的理解 ①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射，如：A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性； 3.“在集合B中”：也就是说A中元素的像必在集合B中，这是映射的封闭性. 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图像法三种. （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，等等都是用解析式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系，二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如.学生的身高 单位：厘米 学员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表、银行里的利息及列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的. 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相的函数值. （3）图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图像来研究函数的某些性质. 4.分段函数，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数、分段函数是一个函数，而不是几个函数. 〈补充专节内容〉求定义域的方法 1、分母不为了0 例1. 解：有意义 且 2、对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 例2.⑴ ⑵ 解：⑴有意义 ⑵的解析式有意义 或或或 即函数的定义域是 3、幂指数 ⑴ ①是正整数时， 例如：；的定义域都是 ②是正(最简)分