《几何与代数》科学出版社第五章特征值与特征向量2.ppt

几何与代数 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 教学内容和学时分配 第五章 特征值与特征向量 教 学 内 容 学时数 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 2 §5.2 相似矩阵 2 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 2 §5.5 用Matlab解题 1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1. 定义 §5.1 方阵的特征值和特征向量 特征值和特征向量：???0, s.t. A? = ?? (?E–A)? = 0 ? ? ? 先解|?E–A| = = 0 ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 对每个?, 求(?E–A)x = 0的基础解系 ?1,?2,?,?t 对应于?的所有特征向量为 k1?1+k2?2+?+kt?t , k1,?, kt 不全为0. 2. 计算 求出所有特征值?, 第五章 特征值与特征向量 §5.1 方阵的特征值和特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: |?E–A| = (?+1)(? –2)2. 所以A的特征值为?1= –1, ?2= ?3= 2. (–E–A)x = ?的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于?1= –1的特征向量为k1p1 (k1?0). (2E–A)x = ?的基础解系: p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于?2=?3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零). 例1. 求 的特征值和特征向量. 第五章 特征值与特征向量 §5.1 方阵的特征值和特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: |?E–A| = (?–2)(?–1)2. 所以A的特征值为?1=2, ?2= ?3= 1. 对于?1=2, 求得(2E–A)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于?1=2的特征向量为k1p1 (k1?0). 对于?2=?3=1, 求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T. 对应于?2=?3 =1的特征向量为k2p2 (k2?0). 例2. 求 的特征值和特征向量. 第五章 特征值与特征向量 §5.1 方阵的特征值和特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解1: 所以A的全部特征值为 0(n?1重根), 例3. 设??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量. 设a1?0 第五章 特征值与特征向量 §5.1 方阵的特征值和特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: 当?=0时, (?E?