利用导数研究函数的极值 高中数学选修1-1课件资源.ppt

利用导数研究函数的极值;知识与技能目标：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数极值的步骤； 过程与方法目标：多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.; 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.; 利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:; 函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值； 函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。; 函数的极值:; (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.;; (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. ; 由上图可以看出, 在函数取得极值处,如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从而有f ’(x) =0 .但反过来不一定. 如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水平的, 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 假设x0使f ’(x) =0 .那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？;;o; 从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极值点, f(x0)是极值,并且如果f ’(x)在x0两侧满足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f ’(x) 在x0两侧满足“左负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极小值.; 求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0)是极大(小)值的方法是:; 如果在f’(x)=0的根x=x0的左、右侧，f’(x) 的符号不变，则f(x0)不是极值. 即:f’(x)=0的根不一定都是函数的极值点。 由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值 的充分必要条件是f’(x0)=0，且在x0左侧 与右侧，f’(x)的符号不同。很明显， f’(x0)=0是x0为极值点的必要条件， 并非充分条件。;如何求函数的最大（小）值呢？ ; 求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值步骤如下： （1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有使f ’(x)=0的点； （2）计算函数f(x)在区间内使f ’(x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。;例1．已知函数y= x3－4x+4， （1）求函数的极值，并画出函数的大致图象； （2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和最小值;;（2）f(－3)=7，f(4)=9 = ， ;例2．求y=(x2－1)3+1的极值.;∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0;例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2]上的最大值与最小值; 从上表知: 当x=±2时，函数有最大值13， 当x=±1时，函数有最小值4 ;例4． 已知 ,x∈(0, +∞). 是否存在实数,使f(x)同时满足下列两个条件： （1）f(x)在(0，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数； （2） f(x)的最小值是1， 若存在，求出a, b，若不存在，说明理由.;解：设g(x)=;解得 ;1．函数y=1 +3x－x3有( ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3;2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( ) (A) 极大值点x=－1 (B) 极大值点x=0 (C) 极小值点x=0 (D) 极小值点x=1;3．函数f(x)=x＋ 的极值情况是( ) (A) 当x=1时取极小值2，但无极大值 (B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值 (C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2 (D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值2;4．若函数y=x3+ax2＋bx＋27在x=－3时有极大值，在x=1时有极小值，则a= ； b