第四章 若干特殊的概率分布.ppt

若干特殊的概率分布 二项式分布 概率不因从一次试验到下次试验而变化，这种独立试验叫伯 努利试验。 令p是一个事件的概率(成功概率)，该事件发生在任一次单个 伯努利试验中。则q=1-p是在任一次单个试验中失败事件的 概率。则事件在n次试验中恰发生x次的概率(即成功x次而失 败n-x次)由以下概率函数给出： 这里随机变量X表示在n次试验中成功的次数，x=0,1,2,…,n 我们称这种分布叫二项式分布。 例子 掷一枚匀称的硬币6次，2次正面的概率？ P(X=2)=(6,2)(1/2)2(1/2)6-2 =6!/(2!4!)(1/2)2(1/2)6-2 =15/64 二项式分布的若干性质 伯努利试验的大数定理 令X是在n次伯努利试验中产生成功数的随机变量，于是X/n 是成功的比例。若p是成功概率，?是任一正数，则 换句话说，最后成功比例很可能最终变成p,即X/n将极接近 在一次单个的试验中，你希望成功的概率p。在某种意义三 该定律证明以经验为根据的概率定义的用处。强大数定律 提供一个更强的结果。用符号表示成 正态分布 正态分布又称高斯分布，其密度函数为： 若我们令Z是对应于X的标准变量，即 Z=(X-?)/? 那么Z的均值为0，方差为1，即 我们称此分布为N(0,1) 正态分布的若干性质 P(-1Z1)=0.6827表示在一倍标准差内的面积占总面积的68.27% P(-2Z2)=0.9545表示在两倍标准差内的面积占总面积的95.45% P(-3Z3)=0.9973表示在三倍标准差内的面积占总面积的99.73% 二项式分布与正态分布之间的关系 若n是大数且p或q都不太接近于0，则二项式 分布能极近似于由下面式子给出的标准随机 变量的正态分布： Z=(X-np)/?npq 这里X是在n次伯努利试验总产生成功次数的 随机变量，p是成功的概率。n增大近似值变 得更好，且在极限情形下它是精确值。实际 上，若np和nq都大于5，近似值是很好的。 泊松(Poisson)分布 令X是一个离散随机变量，取值0,1,2,…,X的概率函 数由下式给出： 这里?是已知的正常数，该分布称为泊松(Poisson) 分布 二项式分布与泊松分布之间的关系 在二项式分布中，若n是大数且事件发生的概 率p接近于0，于是q=1-p就接近于1，这样的 事件称之为稀疏事件。事实上，若试验的次 数至少50而np小于5，我们就把这样的事件看 作稀疏的。对于这种情形，二项式分布是极 近似于具有?＝np, q?1且p?0的泊松分布。 泊松分布与正态分布之间的关系 由于存在着二项式分布与正态分布之间的关 系和二项式分布与泊松分布的关系，我们期望 泊松分布与正态分布之间也有关系,即(X- ?)/??是X对应的标准随机变量，当???时， 它趋向于正态分布，或(X-?)/??是渐近地正 态。 中心极限定理 令X1,X2,…,Xn是独立同分布地随机变量且具 有有限均值?和?2。若Sn=X1+X2+…+Xn (n=1,2,…) ，则对应于Sn的标准随机变量 (Sn-n?)/??n是渐近地正态。该定理在更一般 地条件下也是正确地：例如，当X1,X2,…,Xn 是独立地随机变量，它们具有相同地均值和 方差，当不需要同分布，这样地条件下该定 理也成立。 多项分布 假设事件A1,A2,…,Ak是不相容地，且发生的概率 分别是p1,p2,…,pk，这里p1+p2+…+pk=1。若 X1,X2,…,Xk是随机变量，分布给出在n次试验中 A1,A2,…,Ak发生的次数，因此X1+X2+…+Xk＝n， 则 是随机变量X1,X2,…,Xk的联合概率函数，这里 n1+n2+…+nk=n 例子 掷一枚匀称的骰子12次，各有两次得到 1,2,3,4,5和6的概率是多少？ 在n次试验中， A1,A2,…,Ak发生的期望次数分别是 np1,np2,…,npk 均匀分布 称随机变量X在a=x=b内是均匀分布的，若它的密度函数是 并且称该分布是均匀分布。其均值和方差分别是 ?2分布 令X1,X2,…,X?是?个独立的正态分布随机变量，它们的均值 和方差分别为0，1。考虑随机变量?2＝X12+X22+…+X?2，则 对于x=0可以表示为： 其均值和方差分别为 ?＝?，?2＝2? 伽马函数 伽马函数记为?(n)，