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第三章 多维随机变量及其分布 教学目的与教学要求：掌握多维随机变量的概念及其联合分布；理解几种常见的多维分布；掌握边际分布；理解随机变量的独立性概念；掌握随机变量的独立性的判定方法；会求多维随机变量函数的分布；掌握多维随机变量的特征数；理解条件分布与条件期望。 教学重点：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数。 教学难点：多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。 教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。、、…、是定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称 为维随机变量或维随机向量。 §3.1.2 联合分布函数 定义3.1.2 对任意的个实数、、…、，个事件、、…、同时发生的概率 称为维随机变量的联合分布函数。 以下主要讨论二维随机变量，二维以上的情况可类似进行。 二维随机变量的联合分布函数 。 若把二维随机变量看成平面上随机点的坐标，则分布函数在处的函数值就是随机点落入点该左下方的无穷矩形区域内的概率。 定理3.1.1 任一二维随机变量的联合分布函数必具有如下性质： (1) 单调性：分别对或是单调不减函数，即对任意固定的，当时，；对任意固定的，当时，； (2) 有界性：对任意的和，有，且对任意固定的，有；对任意固定的，有；；。 (3) 右连续性：关于或右连续，即 、； (4) 非负性：对于任意、，有 任意一个具有上述四条性质的二元函数一定是某个二维随机变量的联合分布函数。 §3.1.3 联合分布列 定义3.1.3 若二维随机变量只取有限个或可列个数对，则称为二维离散随机变量，称 称为的联合分布列或分布列。 二维离散随机变量的分布列也可用表格形式表示： ?布 ? 列 ? ? 列 ? ? 列┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ … … ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ 联合分布列的性质： (1) 非负性：； (2) 正则性：。 确定联合分布列的方法： (1) 确定随机变量的所有取值数对； (2) 计算取每个数对的概率； (3) 列出表格。 例3.1.1 设，令、，试求的联合分布列？ 解：由题意知：的可能取值数对及相应的概率如下： 于是的联合分布列为 0 1 0 0.0455 0.2719 1 0 0.6826 §3.1.4 联合密度函数 定义3.1.4 设二维随机变量的分布函数为。若存在非负可积函数，对任意实数，有 则称为二维连续随机变量，为二维随机变量的联合密度函数，简称为密度函数或概率密度。 若在点处连续，则 事实上，由定义知 。 联合密度函数的基本性质： (1) 非负性：； (2) 正则性：。 凡满足性质(1)、(2)的任意一个二元函数，必可作为某个二维随机变量的联合密度函数。 设为平面上的一个区域，则有 例3.1.2 设二维随机变量的密度函数为 (1) 确定常数；(2) 求；(3) 求分布函数？ 解：(1) 利用密度函数的性质可得： ； (2) ； (3) 由得 当时，有 ； 当或时，有 所以。 §3.1.5 常用多维分布 一、多项分布 进行次独立重复试验，如果每次试验有个可能结果：、、…、，且每次试验中发生的概率为，记为次独立重复试验中出现的次数，则取值的概率，即出现次、出现次、…、出现次的概率为 其中，这个联合分布列称为项分布，又称为多项分布，记为。 二、多维超几何分布 多维超几何分布的描述：袋中有只球，其中有只号球，，，从中任意取出只，若记为取出的只球中号球的个数，，则 其中。 三、多维均匀分布 定义 设为中的一个有界区域，其度量为，若多维随机变量的联合密度函数为 则称服从上的多维均匀分布，记为。 四、二维正态分布 定义 若二维随机变量的联合密度函数为 其中，参数、、，则称服从二维正态分布，记为。 以后将指出：、分别是与的均值，、分别是与的方差，是与的相关系数。 的图形如下： §3.2 边际分布与随机变量的独立性 问题：已知二维随机变量的分布，如何求出和各自的分布？ §3.2.1 边际分布函数 若二维随机变量的联合分布函数为，则 的边际分布函数为 ； 的边际分布函数为。 用类似的方法可得到多维随机变量的边际分布函数。 例3.2.1 设二维随机变量的联合分布函数为 这个分布被称为二维指数分布，求其边际分布？ 解：由题意知： 。 注：与的边际分布都是一维指数分布，且与参数无关。不同的对应不同的二维指数分布，但它们的两个边际分布不变，这说明边际分布不能唯一确定联合分布。 §3.2.2 边际分布列 二维离散随机变量的联合分布列为 则的边际分布列为 ； 的边际分布列为 。 也可用表格形式表示： … … … … … … ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇