第二节 常数项级数的敛散性判别.pdf

第二节 第七章 常数项级数的敛散性判别 一、正项级数的敛散性判别 二、交错级数的敛散性判别 三、绝对收敛与条件收敛 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其敛散性判别  若 un 0 , 则称 un 为正项级数 . n1  定理 1. 正项级数 un 收敛 部分和序列Sn n1 (n 1, 2 , ) 有界 .  u   故有界. 证: “ ” 若  n 收敛 , 则 Sn 收敛, n1 “ ”   un 0 , ∴部分和数列 Sn 单调递增,   有界,   从而 u 也收敛. 又已知 Sn 故 Sn 收敛 ,  n n1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束   定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, n1 n1 且存在 N Z  , 对一切 n N , 有un k vn (常数 k 0 ), 则有   (1) 若强级数vn 收敛 , 则弱级数un 也收敛 ; n1 n1   (2) 若弱级数un 发散 , 则强级数vn 也发散 . n1 n1 证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 设对一切 n Z  , 都有 un k vn , 令Sn 和n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有