正项级数敛散性判别法的应用.doc

PAGE  目 录 摘 要…………………………………………………………………………………1 关键词 ………………………………………………………………………………1 Abstract ……………………………………………………………………………1 Key words …………………………………………………………………………1 前 言…………………………………………………………………………………1 1.正项级数相关概念 ……………………………………………………………1 1.1正项级数的定义………………………………………………………………2 1.2正项级数敛散性判别的充要条件……………………………………………2 2.正项级数敛散性判别法………………………………………………………2 2.1比较判别法……………………………………………………………………2 2.2达朗贝尔判别法………………………………………………………………4 2.3柯西判别法……………………………………………………………………6 2.4积分判别法……………………………………………………………………7 2.5拉贝判别法……………………………………………………………………8 参考文献……………………………………………………………………………9正项级数敛散性判别法的应用 学生姓名： 学号： 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师： 职称 摘 要:正项级数是由非负数组成的特殊级数，也是一种重要的级数。本文讨论了五种常用的判定正向级数敛散性的方法。其中包括比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法和拉贝判别法。 关键词:正项级数；敛散性；判别法 How to determine whether convergence or divergence for a nonnegative series Abstract：A positive series is a special series composed of nonnegative numbers , and it is an important series. This paper discusses five common methods to judge whether convergence of divergence for a positive series. Including comparison method, ratio method, root-value method, integral test and Raabe test. Key words: a positive series; convergence and divergence; judge method 前 言 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢? 这就是本文所要讨论的。 1.正项级数相关概念 1.1正项级数的定义 若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，各项都是由非负数组成的级数，称为正项级数。 1.2正项级数敛散性判别的充要条件 定理1 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数M，对一切正整数n有＜M. 证：由于,所以是递增数列。而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证。 例1 级数是正项级数。 解：它的部分和数列的通项 ， 所以正项级数收敛。 2.正项级数敛散性判别法 2.1比较判别法 定理2 （比较原则） 设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切都有 . （1） 则 1）若级数收敛,则级数也收敛；