利用函数质判定方程解的存在.ppt

例3　判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２． 解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有 　　f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（ -∞,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于５，一个小于２ 课后作业p133　　第2,3题 * * 利用函数性质判定方程解的存在 044 卢爱兰 问题1： 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 与二次函数y= ax2+bx+c的图象 都是我们熟悉的内容，他们之 间有些什么关系呢？ 二次函数的图像 二次函数 实根的情况 △的情况 一元二次方程 x2-2x-3=0 x1=-1, x2=3 y= x2-2x-3 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 x1=x2=1 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 △0 △=0 △0 无实根 -1 3 1 y x x y y x 0 0 0 与X轴的 交点坐标 （-1，0） （1，0） （3，0） 无交点 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 归纳二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 与二次函数y= ax2+bx+c的关系： （2） =0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等实根x1=x2 函数y= ax2+bx+c与x轴有一个交点（ x1 ,0) （3） 0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根 函数y= ax2+bx+c与x轴没有交点。 y= x2-2x-3 x1 x2 x1 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y x x x y y 0 0 0 △0 △=0 △0 （1） 0时， 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等实根x1, x2 函数y= ax2+bx+c与x轴有两个交点 （ x1 ,0)和（ x2 ,0) 问题2：二次函数图象与x轴交点 的横坐标 ,是这个函数 的什么呢? 定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0 的实数 x叫函数y=f(x)的零点 等价 f(x)=0有实根 y=f(x)与x轴有交点 y=f(x)有零点 等价 求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点 问题3: 有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但 用函数零点这个几何意义，来探讨方程的根的另外一种 方法是否有效呢？ 首先，我们来观察一个事实， y= x2-2x-3 -2 1 2 4 在[-2，1]中有零点，f(-1)=0 有 f(-2)0, f(1)0 在[2，4]中有零点，f(3)=0 有 f(2)0,f(4)0 但此结论反过来不成立，如： 在[-2，4]中有根，但 f(-2)0, f(4) 0 如果函数y=f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a, b)内 有零点，即存在c∈(a, b),使得f( c )=0,这个c 就是方程f(x)=0 的根。 从上面的事实中你能得出什么结论？ 如果不要“连续不断”这个条件，结论还会成立吗？ 请举一反例。 如f(x)= 图象如下： -1 1 有f(-1)xf(1)0 但没有零点，为什么？ 例1.判断方程 x2-x+6=0解的存在 y o x 4 -4 -6 解:考察函数f(x)= , 其图像为抛物线容易看出， f(0)=-60,f(4)0,f(-4)0 由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1 使f(X1)=0;同样,在区间 (-4,0) 内也至少有点X2,使得f( X2)=0,而方程 至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4) 内， 各有一解 x2-x+6=0 x2-x+6=0 x2-x+6=0 例2 已知函数f(x