2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题与答案详解.doc

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设，则（ ） . . . . 解： 分析； （2）设函数在区间上连续，则是函数的（ ） 跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点 振荡间断点 解 ： 分析：所以是函数的可去间断点 （3）设是连续奇函数，是连续偶函数，区域 则正确的（ ） . . . . 解 ： 分析：中为奇函数，为偶函数，所以 （4）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ） 曲边梯形面积. 梯形面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. 解： 分析： 其中是矩形面积，为曲边梯形的面积 所以为曲边三角形的面积。 （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. 解： 分析：，， 故均可逆。 （6）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ） 解：选 分析： 则。记，则 则，正、负惯性指数相同，故选 （7）随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为（ ） . . . . 解： 分析： （8）随机变量，且相关系数，则（ ） . . . . 解：选 分析：用排除法 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得， 排除 故选择 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数在内连续，则 . 解：1 分析：由 （10）已知函数连续且，则曲线上对应处切线方程为 . 解： 分析：由且连续，则，，所以切线方程为：. （11）. 解： 分析： （12）微分方程通解是. 解： 分析：，， . （13）设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为. 解：2 分析：设的特征值为，，则存在可逆矩阵，使得 ，故，由， 又互不相同，则中有且只有一个为零，故 （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 解： 分析：因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布， 所以 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分） 求极限. 解： (16) （本题满分10分） 设，，求的极值、单调区间和凹凸区间. 解： ， ,令，得.因为，所以. ，得 ，，得 因此，的单调增区间是；单调减区间是. 由，可知为凹区间. 由知为极小值. (17)（本题满分10分） 求函数在在约束条件和下的最大和最小值. 解：设 得方程组即，解得 或 得 ， (18)（本题满分10分） 设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时， 求(1) （2）记，求. 解：(1), (2) (19)（本题满分10分） 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有 （2）证明是周期为2的周期函数． 解：（1）对于，令，则 因为的周期为2，所以 所以 （2） 因为 所以 所以 所以是周期为2的周期函数 （20）（本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解 （3）为何值，方程组有无穷多解 解：① ②方程组有唯一解 由，知，又，故。 记，由克莱姆法则知， ③方程组有无穷多解 由，有，则,故 的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。 又，故可取特解为, 所以的通解为为任意常数。 (21)（本题满分11分） 设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， 证明（1）线性无关； （2）令，求. 解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知） 又 ，整理得： 则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）. 故：线性无关. （2）记则可逆， 即：. （22）（本题满分11分） 设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记 （1）求 （2）求的概率密度 解：1. 2. 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以 ，则 （23）（本题满分11分） 设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？. 解：设每天至少生产件产品。 则合格产品为 废品为