2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题与答案详解.doc

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ） 跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点. 振荡间断点. 解： 分析：，所以是函数的可去间断点。 （2）设连续，，，，则，则（ ） 解：选 分析；用极坐标得 （3）设则函数在原点偏导数存在的情况是( ) 解： 分析：， 故，所以偏导数不存在。 所以偏导数存在。故选 （4）曲线段方程为函数在区间上有连续导数则定积分（ ） 曲边梯形面积. 梯形面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. 解： 分析： 其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。 （5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. 解： 分析：， 故均可逆。 （6）设则在实数域上与合同矩阵为（ ） . . . . 解： 分析： 则。记，则 则 正、负惯性指数相同，故选 （7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . 解： 分析： （8）随机变量，且相关系数，则（ ） . . . . 解：选 分析： 用排除法 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得 排除 故选择 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数在内连续，则 . 解：1 分析：由 （10）函数，求积分 . 解： 分析： 所以 （11）.其中 解： 分析： （12）微分方程求方程的特解. 解： 分析：由所以，又，所以. （13）设3阶矩阵的特征值1，2，2， . 解：的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵，使得 分析：， 因 ，则 （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 解： 分析：因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布， 所以 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分） 求极限. 解： (16) （本题满分10分） 设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求 (1) （2）记，求. 解： ① ② (17) （本题满分10分） 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有 （2）证明是周期为2的周期函数． 解： （1）对于，令，则 因为的周期为2，所以 所以 （2） 因为 所以 所以 所以是周期为2的周期函数 (18) （本题满分10分） 求二重积分其中 解： (19) （本题满分10分） 已知年复利为0.05，现存万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第年取出10+9万元，问至少为多少时，可以一直取下去？ 解：由题得 设 两边求积分 由， 对上式两边求导 令，则 所以至少应为3795. (20) （本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 解：① ②方程组有唯一解 由，知，又，故。 记，由克莱姆法则知， ③方程组有无穷多解 由，有，则 故 的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。 又，故可取特解为 所以的通解为为任意常数。 （21）（本题满分11分） 设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， 证明（1）线性无关； （2）令，求. 解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知） 又 ，整理得： 则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）. 故：线性无关. （2）记则可逆， 即：，. （22）（本题满分11分） 设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为，记 （1）求 （2）求的概率密度． 解：1. 2. 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以 ，则 （23） （本题满分11分） 是总体为的简单随机样本.记， ， （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求. 解：(1) 因为：, ,而 ,所以 T是的无偏估计 (2) ,, 因为 令 所以 因为 且 , 所以 万学教育 海文考研