简明微积分教学课件作者第三版李亚杰课件教案-0203函数的微分课件.ppt

* * 第三节 微 分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似法则中的应用 例1 设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？ 正方形金属片的面积 与边长 的函数关系为 由图可以看出， 解 一、微分的概念 受热后，当边长由 伸长到 时，面积 相应的增量为 从上式可以看出, 可分成两部分: （1） （2) （2）—— 是 时，与 高阶的无穷小； 的线性函数 , 是 时， 与 同阶的无穷小； (1)—— 这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 的近似值： 定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 在点 处的增量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作 或 于是 由此引进函数微分的概念： 导数——一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限. 微分——函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值. 那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？ 可以证明，函数 在点 处可微 函数 在点 处可导；并且有 于是 自变量的微分：通常把自变量的增量 记为 ，称为自变量的微分.于是 可微函数：如果函数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数 是在 内的可微函数．此时， 函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即 由此有， 因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法．在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学． 因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数， 例2 求函数 当 ， 时的微分 解 函数在任意点的微分 于是 例3 半径为 的圆的面积为 当半径增大 时，求圆面积的增量与微分． 面积的微分为 面积的增量 解 当自变量 有增量 时，切线 的纵坐标相应地有增量 二、微分的几何意义 过曲线 上一 点 作切线 ，设 的 倾角为 ，则 当 有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量 ． 因此，微分 几何上表示: 用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量. 三、微分的运算法则 1．基本初等函数的微分公式 2．函数的和、差、积、商的微分运算法则 设函数 ， 均可微，则 （ 为常数） 3．复合函数的微分法则 而 于是 设函数 都是可导函数，则复合函数 的微分为