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北师大版高中数学选修2-2第三章导学案 　　篇一：高中数学北师大版选修2-2学案： 反证法 Word版含解析 　　3 反证法  　　1.了解间接证明的一种基本方法——反证法. 2.理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)  　　3.掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点 　　) 　　[基础·初探]  　　教材整理 反证法  　　阅读教材P13～P14“例3”以上内容，完成下列问题. 1.反证法的定义  　　在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.  　　2.反证法证明的思维过程  　　反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.  　　用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示： 肯定条件p，导致逻 “p且﹁q” 　　“若p则q” 　　→→→  　　否定结论q辑矛盾为假为真  　　判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.( )  　　(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.( ) 　　(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( ) 　　【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.  　　(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理. (3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×  　　[质疑·手记]  　　预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：  　　疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：  　　[小组合作型]  　　(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；  　　S(2)设bn＝n(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.  　　1  　　【精彩点拨】 第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋2n(n－1)d两式求解.第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.  　　【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得 ?a1＝2＋1，? ?3a1＋3d＝9＋2， 　　∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2). Sn 　　(2)证明：由(1)得bn＝nn＋2.  　　2  　　假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bq＝  　　bpbr，  　　即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r2＝0.  　　2  　　?q－pr＝0，  　　∵p，q，r∈N＋，∴?  　　2q－p－r＝0，?  　　?p＋r2  　　＝pr，(p－r)2＝0， ∴?  　　?2?∴p＝r，这与p≠r矛盾.  　　所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.  　　1.当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.  　　2.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.  　　3.常见否定词语的否定形式如下表所示： 　　[再练一题] 　　x－2  　　1.已知方程f(x)＝ax＋(a1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根.  　　x＋1 　　【证明】 假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0　　x0－2 　　x0＋1  　　x0－2  　　　　x0－2x0＋1  　　又当x0　　即0　　x0＋1x0＋1  　　这与x0　　已知x，y，z均大于零，求证：x＋yy＋zz＋x这三个数中至少有  　　一个不小于4.  　　【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明. 444  　　【自主解答】 假设x＋y，y＋z，z＋x都小于4， 444  　　即x＋y　　于是得?x＋y＋?y＋z＋?z＋x?　　??????  　　?4?4?4??4?4?4?  　　而?x＋y＋?y＋z＋?z＋x?＝?x＋x＋?y＋y＋?z＋z?≥2 ????????????2  　　4zz＝12，  　　?4?4?4?  　　这与?x＋y＋?y＋z＋?z＋x