初中数学竞赛讲座数式、方程、应用性问题.doc

初中数学竞赛讲座 数与式、方程、应用性问题 数与式、方程、应用性问题是初中竞赛的主体内容，比重占到二分之一强.涉及到这部分内容的选择题、填空题特点是“小、巧、活”，解答题则基础、厚重.复习这部分内容的有效方法是对照中国数学会普及工作委员会制定的初中数学竞赛大纲(2006年修订试用稿)，逐条训练、理解、掌握. 下面选取近几年的全国初中竞赛试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线，期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握全国初中数学竞赛试题的脉络.以下例题中(2001-2)指的是(2001年全国初中竞赛第2题)，其他类同. 一、数与式问题 1.奇偶性分析、整除性分析 [例1] (2001-2)如果是三个任意整数，那么( )． (A)都不是整数 (B)至少有两个整数 (C)至少有一个整数 (D)都是整数 [解答]三个整数中至少有两个同奇偶，这两个数的和即为偶数，和的一半即为整数，故选C. [点评]近年来单独考查奇偶性的试题较少，多数是将奇偶性分析、整数问题融入到其他知识中去解决问题，是一个重要的“题眼”，更多的例题可参考后面的“方程的整数根问题”. [例2] (2007-5)方程的整数解(x，y)的个数是( )． (A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多 [解答]原方程可化为，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A). [点评]本题的“题眼”有两个：一是对方程两边“局部分解因式”，构造三个连续整数的乘积；二是对方程两边作3的整除性分析. 2.把握结构，代数式的整体处理 代数式的结构千变万化，我们便于解决（能够解决）的总是那些结构特殊的代数式，这就意味着：我们总是要整体把握问题中代数式的特殊结构.具体来讲，又可细分为： (1)整体用元(换元)，整体化简、求值 [例3] (2006-2)已知，，=8，则a的值等于( ) ． (A)－5 (B)5 (C)－9 (D)9 [解答]由已知可得，． 又=8，所以,解得a=－9.选C． [点评]本题整体代入与，回避了根式运算，这是根式问题的一个常用手段（根式问题的常用手段还有分母、分子有理化等）. [例4] (2001-12)已知实数满足，那么t的取值范围是 . [解答]题中两式相加，得；两式相减，得. 因为，所以且，解得. [点评]本题视为两个独立的整体，利用它们之间的关系构造不等式，获得t的范围. 关于变量的几种常见代数结构之间存在特定的不等关系： ，即均值不等式； 还存在特定的等量关系： ， 同学们都应有所了解. (2)整体实施相加、相乘、相除 [例5] (2003-7)若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 . [解答]本题的参考答案是： 解法1：因为， 所以，解得. 从而，. 于是. 显然不及下面的方法简单、漂亮： 解法2：三式相加，得； 三式相乘，得. 两式相减，得，则. [点评]参考答案是用消元法解三元方程组，思路简单、过程复杂；我们的解法思路巧妙、过程简洁，这其实要归功于对三元结构的理解与把握，三个变量的常见代数结构有： 等. [例6](2007-4)已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为( )． (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 [解答]设是它们的一个公共实数根，则 ，，． 把上面三个式子相加，并整理得． 因为，所以． 于是．选(D)． 3. 判定代数式的符号与配方法 [例7] (2002-4)设ab、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值( ) ． (A)大于0 (B)等于0 (C)不大于0 (D)小于0x+ y + z＝a2－2a +b2－2b +c2－2c＋， 配方，得， 所以，x、y、z中至少有一个值大于0，选A. [点评]配方法的基本功能是构造非负式、构造平方式. 本题通过对和式配方，判定和式为正，从而说明其中至少有一个加式为正. [例8] (2005-2)若M＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是( ). (A)正数 (B) 负数 (C)零 (D)整数 [解答]因为M＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13 ， 显然不能同时成立， 所以，，选A. [点评]配方是数学竞赛的一项基本功，需要借助一定的拆项、凑配技