高考数学复习5.2应用性问题.doc

本资料来源于《七彩教育网》 5.2应用性问题 【知识网络】1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； 　　　　　　２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； 　　　　　　３．实际问题中有关术语、名称． 仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角 方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 【典型例题】 ［例1］(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 （A） （B） （C）或 （D）3 （1）C 提示：利用余弦定理 （2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ） A B C D （2） A （3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为（精确到） （ ） A B C D （3） B （4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 ． （4）90.8 nmi (5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角，A处有灯塔， 其方位角，在C处观测灯塔A的 方位角，由B到C需航行半小时， 则C到灯塔A的距离是 （5）km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得 ［例2］在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台 风中心位于城市O(如图)的东偏南方向 300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭？持续多长时间？ 角：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则 由余弦定理知 由于PO=300,PQ=20t 故 即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时． ［例3］上海浦东有两建筑物A、B，由于建筑物中间有障碍物，无法丈量出它们之间的距离，请你在浦西不过江，利用斜三角形的知识，设计一个测量建筑物A、B间距离的方案，并给出具体的计算方法． 解：在浦西选取C、D测得 CD=a, ∠ADC=α,∠ACD=β，∠BCD=θ，∠BDC= 在△BCD中：BC= 在△ACD中 ： AC= 在△ABC中 AB= ［例4］如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 解：设，在△AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC 因为，所以当，，即时， 四边形OACB面积最大． 【课内练习】 1．空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为，同时在它南偏东 的B点，测得它的仰角为，A、B两点间的距离为266 m，这两测点均离地1 m，问测量时气球离地多少米？ 解：如图所示，D为气球C在平面ABD上的射影，设CD=，依题意知： 在△ABD中，由余弦定理得： 即； 解得： 故测量时气球离地． ２．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 北2010AB?C 北 20 10 A B ?C ∵, ∴sin∠ACB=, ∵∠ACB90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 3．如图所示，已知扇形OAB，O为顶点，圆心角 ，半径为2 cm，在弧AB上有一动点P，