最新第6章--圆轴扭转-讲课.ppt

引入比例常数G，得 这就是剪切胡克定律表达式。比例常数G叫剪切弹性模量。 当切应力τ不变时，G越大，切应变γ就越小，所以G表示材料抵抗剪切变形的能力。 可以证明，对于各项同性材料，G，E和υ不是各自独立的三个弹性常熟，他们时间的关系如下： §6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算 为分析圆轴横截面上的应力情况，可进行扭转试验。如图6.8(a)实验前在圆轴表面作记号纵向线和横向线。 变形现象：各圆周线形状、大小、间距不变，仅绕轴线相对转动； 各纵向线倾斜相同的角度 ，仍为直线。 平面假设成立：圆轴的横截面变形前为平面，变形后仍为平面。 推论：圆轴纯扭转时，横截面上只有垂直于半径的切应力，而无正应力。 §6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算 6.2.2 圆轴扭转时横截面上的应力 一、分析变形规律 1. 横截面上的应力 表面变形情况 推断 横截面的变形情况 (问题的几何方面) 横截面上应变的变化规律 横截面上应力变化规律 应力-应变关系 (问题的物理方面) 内力与应力的关系 横截面上应力的计算公式 (问题的静力学方面) ? 圆轴扭转实验现象： 横向：圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转动 纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形 平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动） 推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。 取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABC?D?。 1. 变形几何条件 g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为 CC?= gdx=rdf , 故有： df /dx ,称为单位扭转角。 对半径为r的其它各处，可作类似的分析。 dx O C D A B r r C? D? df df g MT g 1. 变形几何条件 对半径为r的其它各处，作类似的分析。 剪应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角df /dx成正比。 即得变形几何条件为： --(1) 同样有： CC?= gdx=rdf dx O C D A B r r C? D? df MT gr gr 2. 物理关系— 材料的应力-应变关系 在线性弹性范围内，剪切虎克定律为： G是t-g曲线的斜率，如图， 称为剪切弹性模量。单位GPa --(2) 半径为r处的剪应力则为： 圆轴扭转时无正应力 1 G O t g 1 G t ys 材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。 讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布 圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。 --(3) dx O C D A B r r C? D? df MT gr gr t r M T o t r r t max 最大剪应力在圆轴表面处。扭转 截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比； 剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。 3. 力的平衡关系 应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。 取微面积如图，有： --(3) 利用(3)式，得到： t r M T o t r r t max dA 3. 力的平衡关系 令： 最后得到： --(4) Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。 tmax在圆轴表面处，且 WT =IP / r，称为抗扭截面模量。 求IP，WT ? t r M T o t r r t max 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量 d D o 讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有： r dr dA 极惯 性矩 ) 1 ( 32 32 ) ( 2 4 4 4 4 2 / 2 / 3 a p p r r p P - = - = = ò D d D d I D d 抗扭截面模量： 16 / ) 1 ( ) 2 / /( 4 3 a p P - = = D D I W T a=d/D 极惯性矩： 抗扭截面模量 d D o 空心圆轴 实心圆轴 D o 极惯性矩: 抗扭截面模量: a=d/D=0 研究思路： 变形几何条件 dx ---(1) d / j r g = + 材料物理关系 dx d G G j r g t r r = = ---(2) 静力平衡关系 + T A M dA dx d G = ò 2 r j ---(3) 圆轴扭转剪应力公式： P r r t I M T = ---(4) 且由(2)、(4)可知