22_1第一型曲面积分.ppt

第22章 第1节 例2. 计算 例5. 例6. 计算 例8. 求椭圆柱面 例10. 设均匀抛物面壳 例12. 内容小结 备用题 1. 已知曲面壳 2. 设 S 是四面体 3. 设 * 数学分析 * * 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 * 第一节、第一型曲面积分 第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式 曲面积分 第22章 第二节、第二型曲面积分 第四节、场论初步 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 第22章 第一型曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “分割, 近似代替, 取极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者， 即划分的细度). 定义: 设 S 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 S 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 S做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 S 上对面积 函数, S 叫做积分曲面. 则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面 S 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若 S 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 定理22.1 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 S 上连续, 存在, 且有 二、第一型曲面积分的计算 则曲面积分 证明: 由定义知 而 (S光滑) 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 例1. 计算曲面积分 其中?是球面 被平面 截出的顶部. 解: 思考: 若 S 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 解： 例3 计算 解： 例4. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示S 在平面 设 计算 解: 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为 则 思考: 若例5 中被积函数改为 计算结果如何 ? 解: 取球面坐标系, 则 例7. 计算 其中 S 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 S 的侧面积 S . 解: 取 例9. 求半径为R 的均匀半球壳 S 的重心. 解: 设 S 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 而 用球坐标 其面密 解： 度为 例11. 计算 其中 S 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为 半径为 利用重心公式 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km ) 解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 S 的 半顶角为 ? , 利用球坐标系, 则 卫星覆盖面积为 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔 角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球 全表面. S 1. 定义: 2. 计算: 设 则 (曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧. 作业 P289 1(1),(3),(5); 2; 3 求此曲面壳在平面 z＝1以上部分S 的 的面密度 质量 M . 解: S在 xoy 面上的投影为 故 面, 计算 解: 在四面体的四个面上 同上 平面方程 投影域