复变函数第三章3.ppt

在复平面上任取一点 及充分大的正数 显然 在闭圆盘 上解析， 由柯西不等式，取 并注意到 ，有 让 得 再由 的任意性，在整个平面上 ， 所以 为常数． 注:由定理3.16易得：（1）设 为整函数， 则 为常数 有界 例3　若 为整函数，且 ， 为实常数， 则 也是常数． 证明　令 ，则 也是整函数，且 即 有界．由定理3.16， 为常数，从而 也是常数． （三）代数学基本定理 定理3.17（代数学基本定理） 在复平面上，任何非零次多项式 （ ， 为整数）至少有一个零点． 利用刘维尔定理和连续函数的有界性证明. 证明（反证法）假设 在复平面上无零点， 则 在复平面上也解析，即 也是整函数． 下证 在平面上有界． 事实上，因 由极限的局部有界性，存在充分大的 ， 使得当 时， 又 在闭圆盘 上连续，从而利用有界闭集上 连续函数的性质, 在闭圆盘上有界， 所以，在整个平面上 有界. 由刘维尔定理， 为常数, 因此 为常数, 这与题设条件矛盾．故证． 推论 记 （ ， 为整数），则有 （1）若 为 的一个零点，则 其中 为首项系数为 的 次的多项式． （2） ，其中 都是 的零点． 作业: ＊ P129 5 ＊ P132 20, 21, 22, 27 ＊ P133 33, 35 * 第三节　柯西积分公式 本节，我们先介绍解析函数在区域内的取值用 它在区域边界上的取值表示的一个公式， 即柯西积分公式，然后，用柯西积分公式作为 工具来研究解析函数的无穷可微性，最后再给 出几个重要的结论． 定理3.10 设 是一个有界区域，其边界为 （当 为单连通区域时， 是一条围线；当 为 多连通区域时， 就是一条复合闭路），如果函 数 在 内解析，在闭区域 上连续， 则对任意 ，总有 此公式称为柯西积分公式，也称为解析函数的 积分表示，它表明解析函数在区域内任一点的 值完全可以用它在区域边界上的值表示出来． 证明　任意固定 ， 显然 在 内除 外是 解析的． 以 为心，充分小的 为半径作闭圆盘,使得此 闭圆盘仍含于 ．记闭圆盘的边界为圆周 ,从 而 在复合闭路所围成的区域 内解析， 在所围成的闭区域上连续.于是,由复合闭路原理， 注意到 下面只需证明 注意到 （*）的证明转化为 下面借助于积分估值不等式来证明. 由 在点 连续，对任意 ，存在正数 ， 使得当 时，总有 注意到当 因此当 时 根据估值不等式 因此（*）式成立. 定理得证. 思考题：在定理3.10的条件下，若 ，则 注: 柯西积分公式可以用于求解复积分. 应用时, 需要验证条件: 1.被积函数 的分子 在积分曲线的内部 解析,在边界连续. 2. 在积分曲线的内部. 例 例　计算复积分 解 因为 的不解析点为 ，于是， 在 内，我们分别以 为心， 为半径作 圆周 和 由复合闭路原理及柯西积分公式 注：当被积函数在围线的内部含有多个不解析 点时，一般可先用挖洞的方法，利用复合闭路原 理，将积分转化为其内部只有被积函数的一个不 解析点的各个小围线的积分，然后再用柯西积分 公式． 该题利用常用积分会更加简洁. 定理3.11（解析函数的平均值定理） 若函数 在圆域 内解析，在闭圆盘 上连续，则