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多项式恒等定理在初等数学中的应用 The Applications of Polynomial Identity Theorem in Elementary Mathematics 专 业: 数学与应用数学 作　　者: 指导老师: 学校 二○  摘 要 多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位. 它是多项式代数中一个重要定理——待定系数法的理论依据. 本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理, 并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式, 进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用. 关键词: 多项式; 恒等; 多项式恒等定理; 待定系数法; 因式分解; 二项式定理 Abstract Polynomial Identity Theorem plays an important role in the polynomial algebra. It is an important algebraic polynomial theorem, and it is based on the theory for the undetermined coefficient method. In this paper, the definition of the same polynomials and Polynomial Identity Theorem have been given, and we introduced some applications of the polynomial identity theorem in elementary mathematics, such as using it to prove combinatorial identities and to factorize polynomial. Keywords: polynomial; identity; Polynomial Identity Theorem; undetermined coefficient method; factorization; Binomial Theorem 目录 摘 要 I Abstract II 0 引言 1 1 多项式恒等定理的有关理论 1 2 多项式恒等定理在初等数学中的应用 4 2. 1待定系数法 4 2. 2 在三角中恒等式中的应用 7 2. 3证明恒等式 8 2. 4 因式分解 10 2. 5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 12 参考文献 14 0 引言 多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式与恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, 数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有个根, 因此, 当取个不同的值时, , 那么一定有. 由此推出, 两个次数均不超过的多项式和, 如果对于的个不同的值, 都有, 那么. 关于多项式恒等定理的一些研究见文[3]-[5]. 它不仅是待定系数法的理论依据, 同时在初等数学中还有更广泛的应用. 在这篇文章中, 我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明, 并探讨它在初等数学中的应用. 1 多项式恒等定理的有关理论 定义1 设是一非负整数. 形式表达式 （1） 其中全属于数域, 称为系数在数域中的一元多项式, 或者简称为数域上的一元多项式. 定义2 如果在多项式与中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么与就称为相等, 记为. 系数全为零的多项式称为零多项式, 记为0. 定义3 两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等. 常用记号表示恒等. 定理1 若数域上的多项式恒等于零, 即, 则. 证明：对多项式（1）的次数用数学归纳法. 证定理对于成立. 设形如. 若对于的任意值, , 令, 则, 故；再令, 即, 故. 定理对于的情况成立. （2）假设定理对于成立, 推证对于成立. 设形如 . 由于, 用代, 得 . （3） 由（2）式, 又可得 . （4） 由于,故, . 式-（3）式, 得 . 上式左边是一个情形的多项式, 它恒等于零. 由归纳假定, 必须其所有系数都是零： , , , . 于是, . 多项式, 化为. 令, 又得. 定理2 数域P上非零多项式