数学 学年论文 毕业论文 关于多项式插值法的分析探讨.doc

学员学术研讨会论文 数学学年论文关于多项式插值法的分析探讨 摘 要：本文在简要介绍了有关插值法的一些基本概念的基础上，详细介绍了Lagrange插值公式、 Newton基本插值公式、分段插值以及三次样条插值公式．并深入探讨了各种插值公式的适用范围及其优劣性 关键词：插值法 插值函数 插值多项式 插值公式 一、引言 在科学研究和工程中，常常会遇到计算函数值等一类问题，然而函数关系往往是很复杂的，在实际问题中，有时只能给出函数在平面上的一些离散点的值，而不能给出函数的具体解析表达式，或者函数的表达式过于复杂而难以运算.例如，根据观测或实验得到一系列的数据，确定了与自变量的某些点相应的函数值，而要计算未观测到的点的函数值，这时我们需要用近似函数来逼近函数.在数学上常用的函数逼近的方法有： （1）插值 （2）一致逼近 （3）均方逼近或称最小二乘法 本文主要讨论用插值逼近函数的方法.什么是插值？简单的说，就是用给定的未知函数的若干函数值的点构造的近似函数，要求与在给定点的函数值相等，则称函数为插值函数.下面我们给出插值函数的一般定义： 定义：为定义在区间上的函数,为上n+1个互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数满足：则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点. 这样，对函数在区间上的各种计算，就用插值函数的计算取而代之. 构造插值函数需要关心下列问题： 插值函数是否存在？ 插值函数是否唯一？ 如何表示插值函数？ 如何估计被插函数与插值函数的误差？ 本文主要对以下几种插值做一下分析探讨：（1）插值（2）插值（3）分段插值（4）三次样条插值. 二、插值 对于插值函数，我们通常可以选择多种不同的函数类型，但由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，我们常选用代数多项式作为插值函数. 首先我们来看这样一个问题：给定两个插值点其中怎样做通过这两点的一次插值函数？ 过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值. 下面先用待定系数法构造插值直线. 设直线方程为将分别代入直线方程， 得 , 当时,因 所以方程组有解，且解唯一.这也表明，平面上两个点有且仅有一条直线通过，用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量大且不便向高阶推广，故这种构造方法不宜采用. 当时，若用两点式表示这条直线，则有： 这种形式称为插值多项式. 记 称为插值基函数，计算的值,可知 在插值多项式中，可将看作两条直线与的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位是平等的. 如果我们给定三个插值点，其中互不相等，那么该怎样构造函数的二次（抛物线）插值多项式呢？ 仿照线性插值的插值，我们可设 为二次函数 对来说，要求是它的零点，因此可设同理也有相应形式. 将分别代入，可得 有 一般地，当给定n+1个互不相同的插值节点时，就可得出函数的n次插值多项式: 下面我们以定理的形式来给出插值多项式的误差估计. 设在区间上有直到n+1阶导数，是上n+1个互异节点，满足的n次插值多项式，则对，有，其中，且依赖于 三、插值 插值多项式的优点是格式整齐和规范，它的缺点是计算量大且没有承袭性，当需要增加插值节点时，不得不重新计算所有插值基函数，所以我们再来引进具有承袭性的插值多项式. 先来介绍一下差商运算. 一阶差商：函数值的差与自变量的差之比值，记为 而称为关于点的二阶差商. 一般地，k阶差商为： 我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有： 如果给定，其中互不相同，那么如何来构造n次插值多项式？ 由一阶差商的定义得 类似地，由二阶差商至n阶差商的定义可得到下列方程组 解这个方程即得 为不高于n次的多项式，可验证，称是过n+1个插值点的n阶插值多项式. 为插值多项式的误差. 由插值多项式的唯一性知，拉格朗日插值多项式与插值多项式完全相同，只是表达形式不同，因此得到它们的误差也应完全相等，故当时，有 四、分段插值 在构造插值多项式时，适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但不能因此认为插值多项式的次数越高越好，例如我们所熟悉的龙格现象就说明了这一点. 既然增加插值节点并不能提高插值函数的逼近效果，那么采用分段插值的效果又如何呢？ 例如，当给定了n+1个点上的函数值后，若要计算点处函数值的近似值，可先选取两个节点与，使，然后在小区间上作线性插值，即得 这