研究生数值分析 多项式插值.ppt

例3 设f(x)= 　，并已知f(x)的数据如表2-3。 1.414214 1.449138 1.483240 X 2.0 2.1 2.2 表2-3 试用二次Newton插值 多项式 N2(x)计算f (2.15) 的近似值讨论其误差。 函数f(x)= 的图象 解 先均差表，具体数据如表2-4。 　　　　　　　　　　　　　表2-4 2.0 1.414214 2.1 1.449138 0.34924 2.2 1.483240 0.34102 -0.04110 xk f(xk) 一阶均差 二阶 均差 利用Newton插值公式有 取x= 2.15得 注意到 可以得出 　　事实上，f(2.15)的真值为1.466288,由此得出 。由此看出，所得结果是满意的。 　　利用Newton插值公式，还可以方便地导出某些带导数的插值公式，如下例。 例4 　已知函数f(x)的如下值: 求不超过3次的多项式P3(x)，使得满足插值条件： 解 记 构造不超过3次的多项式 ), )( )( ( ) )( ]( , , [ ) ]( , [ ) ( ) ( 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 3 x x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x P - - - + - - + - + = a 其中，前三项是通过三个插值点的2次Newton插值N2(x),从而P3(x)满足三个函数的插值条件。α是待定常数，由x1 =0处的导数值条件确定。 从而 由 ，得 ，所以问题的解是 。 易知，其中的均差 例5 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性质 解: 由差商与导数之间的关系 3 差分和等距节点插值公式 在实际计算中，经常遇到插值节点等距分布的情形。引入差分作为工具，可使Newton插值公式得到简化。 给定 的函数表 并记 且 即 1、差分 记号 — 向前差分算子； 在 称为 点的步长为h的一阶向前差分 — 中心差分算子. 定义 — 向后差分算子； 、向后、中心差分. 分别 （1） 差分及性质 —二阶向前差分； —二阶向后差分； 利用一阶差分，可定义二阶差分为 一般地，可定义m 阶差分为 — m 阶向前差分； — m阶向后差分； 若一阶中心差分 则二阶中心差分为 并规定 　，称其为零阶差分。 2 1 1 2 1 1 1 1 1 , - - + - - - - - = ? - ? = ? k m k m k m k m k m k m f f f f f f d d d 　　为了讨论差分的性质，再引入两个常用的算子符号。 称 E为步长h 的移位算子，I为单位算子（也称不变算子）。 由差分定义并应用符号运算，可得下列差分的基本性质。 （1）函数值与差分可以表示。例如 （2.1.20） （2.1.21） （2.1.22） 其中 为二项式展开系数。 （2） 对于 有 （2.1.23） 该式用数学归纳法证明。 (3) 设