研究生数值分析正交多项式.ppt

* * 一、正交多项式的概念与性质 定义 若区间（a，b）（有限或无限）上非负函数ρ(x)满足 （1） 对一切整数n≥0， §5 正交多项式 存在， （2）对区间(a，b)上非负连续函数 f (x)，若 则在(a, b)上 f (x)≡0，那么就称ρ(x)为区间(a ,b)上的权函数。 常见的权函数有 定义 给定 是(a ,b)上的权函数，称 为函数 f (x)与 g (x)在[a，b]上的内积。 内积的一些性质: （由定积分的性质推出） ① （f，g）=（g，f）； ② ( k f，g)=(g，k f)=k ( f，g)， k为常数； ③ （f 1+f 2，g）=（ f 1 ,g) +(f 2 ,g )； ④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）0 定义 若内积 则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。 若函数系 满足 则称 是[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系。 特别地，若 是最高次项系数 不为零的k次多项式，则称 是[a，b]上带 权ρ(x)的正交多项式系。 可以证明：在[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系一定是在[a，b]上线性无关的函数系。 定理 设 是最高次项系数 不为零的k次多项式，则多项式系 为 [a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系的充分必要条件是对任何次数不高于k-1的多项式q (x)总有 证明必要性 任何次数不高于k-1的多项式 q (x) （k≥1） 总可表示为某一组0次，1次，…，k-1次多项式 的线性组合，特别地，可表示为 的线性组合 因而有 因 j ≠ k，故上式右端每个积分皆等于零，所以 成立 充分性 因对任何次数不高于k-1的多项式 q (x) 所以，对于 即 又因 是最高次项系数 不为零的k次多项式，故 因而有 根据定义， 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。 证毕。 正交多项式的性质： 性质1 设 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 也是[a ,b]上带权的正交多项式系， 其中， 是非零常数。 性质2 区间[a ,b]上带权ρ(x)的正交多项式系，在各个多项式的最高次系数为1的情形下是唯一的。 证明 设 和 都是区间[a ,b]上带权 ρ(x)的正交多项式系，并且对任何k≥0， 和 的 项系数为1。 当k=0时， 所以 根据定理可知 因而 因 故有 证毕 是次数不高于k-1的多项式， 当k≥1时， 性质3 设 是[a ,b]上带权ρ(x)的 正交多项式系，则当k≥1时，k次正交多项式 （a，b）内。 有k个互异实零点，并且全部位于开区间 证 当k≥1时，由于 且 恒为非零常数，所以 因而可知 在（a，b）内必变号， 则根据定理，必有 在（a，b）内必有奇重实零点。 设 在(a，b)内总共有m个奇重实零点, 记为 假定mk, 令 但由于 在(a，b)内无奇重实零点， 因而 在(a，b)内保持不变号， 又显然 ，所以应有 所出现的矛盾证实m=k。 证毕 性质4 设 是[a ,b]上带权ρ(x)的 正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有如下递推关系 其中 并且 是正交多项式 的最高次项系数， 由于幂函数系 在任何 区间上线性无关,所以,可采用Gram-Schmidt (克莱姆-施密特)正交化方法由幂函数系产生在指定区间[a ,b]上带指定权函数ρ(x)的正交多项式系 其中 是最高次项系数为1的k次多项式。 正交化方法如下： 二、几种常用的正交多项式 1、Legendre（勒让德）多项式 定义：由 确定的 称为Legendre多项式。 Legendre（勒让德）多项式的性质： 性质1 Legendre多项式系 是区间[-1，1]上的正交多项式系。 性质2 的最高次项系数为 性质3 n为奇数时， 为奇函数， n为偶数时， 为偶函数。 性质4 递推关系，当n≥1时，有 证明见P122 证明见P123