5.5正交多项式(2学时).ppt

Chebyshev多项式的性质： （2）Chebyshev多项式系 是区间[-1，1]上带权 的正交多项式系。 （1） 是x的n次多项式，并且当 时， 的最高次项系数为 2、Chebyshev多项式 （3）递推关系 第二类Chebyshev多项式的递推公式： （3）递推关系 (4)（根的性质） 在开区间（-1，1）内有n个互异实零点， （3）递推关系 (4)（根的性质） 在开区间（-1，1）内有n个互异实零点， n为奇数时 为奇函数， n为偶数时 为偶函数。 （5）奇偶性 Chebyshev多项式的性质： （2）Chebyshev多项式系 是区间[-1，1]上带权 的正交多项式系。 （3）递推关系 (4) 在开区间（-1，1）内有n个互异实零点， （5）n为奇数时 为奇函数,n为偶数时 为偶函数。 3、Laguerre多项式 定义： 称 为Laguerre（拉盖尔）多项式。 Laguerre多项式的性质： （1） 是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为 （2）Laguerre多项式系{ }是在区间 上带权 的正交多项式系。 Laguerre多项式的性质： （1） 是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为 （2）Laguerre多项式系{ }是在区间 上带权 的正交多项式系。 （3）递推关系 * 5.5 正交多项式 一、正交多项式的概念与性质 二、几种常用的正交多项式 5.5 正交多项式 一、正交多项式的概念与性质 1、权函数的定义 2、两个函数的内积 3、函数的正交 （1）两个函数的正交 （2）正交函数系 （3）正交函数系一定线性无关。 4、正交多项式 （1）正交多项式的充要条件 （2）正交多项式的性质 5、Gram-Schmidt正交化方法 5.5 正交多项式 一、正交多项式的概念与性质 1、权函数的定义 思考： 是权函数吗？区间为多少？ 常见的权函数有 2、两个函数的内积 内积的性质： (1)对称性 (2)数乘性 k为常数； (3)可加性 (4)非负性 3、函数的正交 （1）两个函数的正交 （2）正交函数系 （3）正交函数系一定线性无关。 3、函数的正交 （1）两个函数的正交 （2）正交函数系 4、正交多项式 （1）正交多项式的充要条件 P184 即： 思考：q(x)的表示式？ 4、正交多项式 （1）正交多项式的充要条件 P184 即： 证明：必要性： 4、正交多项式 （1）正交多项式的充要条件 P184 （2）正交多项式的性质 （2）正交多项式的性质 证明思路： 分两种情况证明:k=0，k0（据TH5.6证明） （2）正交多项式的性质 证明思路： （1）说明 有奇数重根； （2）说明奇数重根有k个。 证明思路： （1）说明 有奇数重根； （2）说明奇数重根有k个。 （2）正交多项式的性质 5、Gram-Schmidt正交化方法 2 5、Gram-Schmidt正交化方法 2 二、几种常用的正交多项式 1、勒让得（Legengre）多项式 2、Chebyshev多项式 3、Laguerre多项式 4、Hermite多项式 二、几种常用的正交多项式 1、勒让得（Legengre）多项式 勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家， 生于巴黎，卒于同地。 约1770年毕业于马扎兰学院。 1775年任巴黎军事学院数学教授。 1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》 获柏林科学院奖金.次年当选为巴黎科学院院士 1787年成为伦敦皇家学会会员。 勒让德曾与拉格朗日、拉普拉斯 并列为法国数学界的“三L”， 为18世纪末19世纪初法国数学家的复兴做出重要贡献 二、几种常用的正交多项式 1、勒让得（Legengre）多项式 二、几种常用的正交多项式 1、勒让得（Legengre）多项式 Legengre多项式的性质： （1）Legendre多项式系{ }是区间[-1，1]上带权 的正交多项式系。 考察： Legengre多项式的性质： （1）Legendre多项式系{ }是区间[-1，1]上带权 的正交