第五讲 定积分及其应用.doc

第五讲 定积分及其应用 1内容展开 定积分的定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长的乘积并做出和，如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎样选取，只要当时和S总趋于确定极限I，那么称这个极限I为函数在区间上一定积分（简称积分），记作即其中叫做被积函数叫做积分表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。 注：定积分中的两个“任意”——分法任意，的取法任意 定积分的几何意义 设存在，则的值等于由曲线，直线及轴所围成曲边梯形面积的代数和 注：曲边梯形面积求解的步骤（分割，近逝，求和，求极限） 可积的条件 可积的必要条件：可积函数必有届 可积的充分条件： ①闭区间上的连续函数必可积 ②若再上只有有限个第一类间断点则必可积 定积分的性质 1） 2） 3） 4） 5）设，则 6）则 注：结合定积分的几何意义理解“估值”性质 7）设则 8）定积分中值定理，设上连续，则存在使 定义：我们称为在上的积分平均值 注：结合定积分的几何意义理解积分中值定理 9）奇偶函数的积分性质 10）周期函数的积分性质 设为为周期函数，为常数，则 3例题讲解 (二)微积分基本定理 本部分考察目标位：理解积分上限的函数，掌握变上限积分函数的性质 1内容展开 变上限积分函数 设 在上可积，则 称为变上限积分函数 注：变上限积分函数的特点——别积函数，积分上下限 变上限积分函数的性质 若在上可积，则在上连续 若在上连续，则在上可导且 注1：①推广形式：设可导，连续则 ②若连续，是 的一个原函数 ③有关函数的所有问题都可以对变限积分函数实行 注2：连续，变上限积分函数是的一个原函数，在对应区间上是连续的可导的，一个抽象函数要找其原函数首选是变限积分函数 牛顿——莱布尼兹公式 设在上连续为在上任意一个原函数，则 注1：可利用变上限积分函数证明 注2：当时，牛顿——莱布尼兹公式仍成立 3.例题讲解 （三）定积分的计算方法 （1）定积分的换元积分法 设在上连续，若变量函数满足 ①在上连续 ②，且当时，则 注：定积分换元法要注意上下限的对应关系，且定积分还原后无需还原 （2）分部积分法 设在上连续，则或 注定积分的分部积分法中的选择原则和不定积分的分部积分法中的的选则相同 2记忆方法 定积分的积分方法主要是利用定积分的换元积分法和分部积分法，其中对于换元积分法，不仅需要把变量进行代换，而且变量所对应的积分上下限也要相应变化，因此再求出原函数后，就不再需要还原啦，只要把此时变量的上下限带入即可，分部积分法中的的选择原则和不定积分的分布积分法中的选择原则相同 3例题讲解 【例5.1】求 【解析】令则，当从0变化到1时，从0变化到所以 【例5.2】 【解析】令则当从2变化到3时，从所以 【例5.3】 【解析】 (四)反常积分 无穷区间上的广义积分的定义 1），若上述极限存在，则称广义积分是收敛的，它的极限值即为函数在积分区域上的反常积分；若极限不存在，则称广义积分是发散的 2），若上述极限存在，则称广义积分是收敛的，它的极限值即为函数在积分区域上的反常积分；若极限不存在，则称广义积分是发散的 3），若上述两个极限都存在，则称广义积分是收敛的，它的两个极限值之和即为函数在积分区域上的反常积分；反之，则称广义积分是发散的 （2）无界函数的广义积分（瑕积分）定义 瑕点：设在内连续，且，则为的瑕点 同样的，设在内连续，且，则称为的瑕点 已知为函数的唯一瑕点，若上述极限存在，则称广义积分是收敛的，它的极限值即为函数在积分区域上的瑕积分；若极限不存在，则称广义积分是发散的 已知为函数的唯一瑕点，若上述极限存在，则称 广义积分是收敛的，它的极限值即为函数在积分区域上的瑕积分；若极限不存在，则称广义积分是发散的 已知为瑕点。如果与都收敛时，则定义反常积分收敛，否则就称反常积分发散 2记忆方法 由反常积分的定义可知，反常积分实质上是变限积分的极限形式，因此原则上有定积分运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则，定积分和反常积分的区别可以从两个角度区分，如果积分区间是无穷的或被积函数在积分区域内有无穷间断点时，则应该按反常积分解决，此外，定积分的有关结论不能直接推广到反常积分中去，比如对称区间上奇偶函数定积分的计算结论，就不一定适用于反常积分 3例题讲解 【例5.4】计算反常积分 【解析】 （五）定积