答案--二次函数-平行四边形存在性问题.doc

二次函数中的平行四边形问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.【08湖北十堰】已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由． 解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分 说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分． ⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)， ∴AB＝4．∴ 在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1， ∴ ∴b＝ ………………………………3分 当时， ∴　 ………………………………4分 ∴ ………………5分 ⑶存在．……………………………6分 理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为． ①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB． 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，． ∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分 说明：少求一个点的坐标扣1分． ②当以AB为对角线时，点M在x轴下方． 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°． ∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB． ∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝． ∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2． ∴点M的坐标为． ……………………………12分 说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式， 然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分． 综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为． 说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。 练习.【09浙江湖州】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点. (1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积； (3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由 第（ 第（2）题 x y B C O D A M N N′ x y B C O A M N P1 P2 备用图 （1）.……………4分 直线AM y= -X+a 与直线 解方程组的得N坐标 （2）由题意得点与点′关于轴对称， ，将′的坐标代入 得， （不合题意，舍去），.……………2分 ，点到轴的距离为3. ， ，直线的解析式为， 它与轴的交点为点到轴的距离为. .……………2分 （3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于， 把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式， 得： （不舍题意，舍去），， .……………2分 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分， ． 与关于原点对称，， 将点坐标代入抛物线解析式得：， （不合题意，舍去），，．……………2分 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 ①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等 1．【09福建莆田】已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵对称轴………1分 又∵OC=3OB=3，， ∴C（0，－3）………2分 方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入得： 解得： ∴…………………4分 方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0) 可令 把C(0，-3)代入得： ∴………………4分 （2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。 ∵ ＝……………5分 ∵A(-4，0)，C(0，-3) 设直线AC的解析式为 代入求得：……………6分 令， …………7分 当时，DM有最大值3 此时四边形ABCD面积有最大值。…………8分 方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作∥x轴交抛物线于，从图象中可判断当D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。