东华理工大学自动控制理论原理课件 5.ppt

劳斯稳定判据的根据是：使系统稳定时，必须满足系统特征方程式的根，全部具有负实部。 但该判据并不直接对特征方程式求解，而是利用特征方程式(即高次代数方程)根与系数的代数关系，由特征方程中已知的系数，间接判别出方程的根是否具有负实部，从而判定系统是否稳定。因此又称作代数稳定性判据。 三、 劳斯稳定判据 劳斯判据： (ai0) 系统稳定的充分必要条件是：特征方程的全部系数都是正数，并且劳斯表第一列元素都是正数。 实部为正数的根的个数等于劳斯表的第一列元素符号改变的次数。 应用劳斯稳定判据判定系统稳定性的步骤： （1）列系统闭环特征方程 （2）检查各项系数是否都存在且大于零(ai0) ，若都大于零，则进行下一步。 （3）列写劳斯阵列表 表中，除第一、二行外，其它各行按照下列规律进行计算。 注意：劳斯表的每一行要计算到后面的值都是零为止；总行数应为n+1；如果计算过程无误，最后一行应只有一个数；可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。表中空缺的项，运算时以零代入。 劳斯稳定判据的应用 1. 判定控制系统的稳定性 解 列劳斯表 劳斯表第一列均为正数， 系统稳定 例：已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有2个正实部根 。 解 列劳斯表 在列写劳斯表时两种特殊情况（不稳定或临界稳定） （1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零。 这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行。为了解决这个问题，可以用一个很小的正数ε来代替等于零的该第一列系数。 （2）计算劳斯表时，某一行各项全为零。这表明特征方程具有对称于原点的根。 这时可将不为零的最后一行（即全为零行的上一行）的各项构成一个辅助多项式。用该辅助多项式对s求导后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。 第一列无负数，所以系统没有位于s右半平面的根，但有位于虚轴上的根，所以系统处于临界稳定状态。 2. 确定系统的相对稳定性 ① 相对稳定性的定义 一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离σ表示系统的相对稳定性或稳定裕度、稳定裕量。 一般来说，σ愈大则系统的稳定度愈高。 s平面 0 jω σ ② 稳定裕量（度）的计算 方法：以s=z-σ代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在s平面中s=-σ直线的左半部分，即具有σ以上的稳定裕量（度）。 s平面 0 jω σ 3. 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，给出使系统稳定的参数范围。 四、古尔维茨代数判据 第六节 控制系统的稳态误差分析 系统的稳态误差与系统本身的结构参数及外作用的形式都有关系。 讨论稳态误差时所指的都是稳定的系统。 稳态误差（两种）： 由给定输入引起的稳态误差称为给定稳态误差； 由扰动输入引起的稳态误差称为扰动稳态误差。 当线性系统既受到给定输入作用同时又受到扰动作用时，它的稳态误差是上述两项误差的代数和。 一、稳态误差的概念及计算方法 带扰动输入的控制系统的典型结构图 误差定义为输入量与反馈量的差值 稳态误差为误差的稳态值 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入信号的形式和大小有关。 二、控制系统的型别 设系统的开环传递函数的一般形式为 式中：K为开环增益（或称开环放大倍数）；v是系统开环传递函数中串联的积分环节的个数。 按v取值不同，可将系统分为不同的型，即 当v = 0，1，2，…时，分别称相应系统为0型，1型，2型， …系统。 三、给定作用下的稳态误差 1. 单位阶跃信号输入 定义位置误差系数 则稳态误差为 2. 单位斜坡信号输入 定义速度误差系数 则稳态误差为 3. 单位抛物线信号输入 定义加速度误差系数 则稳态误差为 输入信号作用下的静态误差系数和稳态误差 例：如图所示的系统，计算其在不同典型输入时的稳态误差。 解：系统的开环传递函数为 为1型系统，开环增益K=1。系统的各误差系数为 当输入为单位阶跃信号时， 当输入为单位斜坡信号时， 当输入为单位抛物线信号时， 例 设两个控制系统的开环传递函数分别为 试分别计算Kp，Kv，Ka；计算输入分别为