2016级985高等数学（下）及其参考答案.doc

2011级高等数学下册试题（985） 一、选择题（每小题3分，共 12分） 1.函数在点处连续是它在该点偏导数存在的 （D） （A）上点处与轴正向成锐角的法向量 （D） （A）； （C）； （D）. 3.设两空间闭区域 ； 下面结论哪个正确？ （C） （A）； （C）； （D）. 4.设连续，则二次积分 （D） （A）； （C）； （D）. 二、填空题（每小题3分，共 18分 5.设函数，则1 解：令 ，则 ，所以 . 6.设，则在点处的方向导数的最大值为. 解： 在点处的梯度为 所以在点处的方向导数的最大值为 . 7.曲线在点处的切线方程是. 解：点对应参数为.曲线在点处的切向量为 所以曲线在点处的切线为 8.设为圆周，则 解：由轮换对称性知 9.设为平面在第一卦限的部分，积分 解： 向面上的投影区域为 所以 10.微分方程的通解是 解：原方程可化为 两边积分得 ，即 三、计算、证明题（每题10分，共50分） 11．计算，其中为由（在上）和（在下）所围区域的边界，沿逆时针方向。. 解法一： 其中，由格林公式 ； 所以 解法二：直接用格林公式 12.若可微，，求 解：由复合函数求导法则 ； ； 。 所以 13．求的极值点与极值. 解： （一）由 解得唯一解 ，因此有唯一驻点。 （二） ，，。 因为在处，，，，所以 为的极大值点。极大值为8。 14．将展成余弦级数. 解：对作偶延拓及周期延拓. ； ； . 所以，的余弦级数为 ，. 15．设具有二阶连续导数，，曲线积分 与路径无关，求 解：由积分与路径无关的条件知 即 。 化简得 ① ①为二阶常系数非齐次线性微分方程。其齐次方程的特征方程为 解得特征根为 故齐次通解为 。 ② 因为不是特征根，故可设原方程的特解形为 。 ③ 把代入原方程解得 。 故 。 所以原方程的通解为 ④ 再将初始条件代入④，解得 于是 四、应用题（10分） 16．设地球半径为，已知地球上空距地球中心处，空气密度为（为已知的正数）.求地球上空空气的总质量. 解：设地球上空空气总质量为，则 ① 而 （分部） （分部） ② ②式中，取 ，并代入①式，则有 五、证明题（10分） 17．设在单位正方体上二阶导函数连续，.证明： （1）； （2）. （1） 证法一： （注意到） 所以， 证法二：记为的表面外侧.由在上为0，有 （高斯公式） 因此， （2） 证法一：由轮换对称性知 ； ① ； ② . ③ ①、②、③式相加即得 . 证法