《《初等数论(闵嗣鹤)》习题解答二零一六修改版》.pdf

《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI ） 第一章 整数的可除性 §1 整除的概念·带余除法 1 ．证明定理 3 m 定理 3 若a ，a ，，a 都是 得倍数，q ，q ，，q 是任意 n 个整数，则 1 2 n 1 2 n m q a q a  q a 是 得倍数． 1 1 2 2 n n m 证明： a , a , a 都是 的倍数。 1 2 n n a  p m, a  p m, , a  p m  存在 个整数p , p , p 使 1 1 2 2 n n 1 2 n n 又q , q , , q 是任意 个整数 1 2 n q a q a  q a 1 1 2 2 n n q p m q p m  q p m 1 1 2 2 n n ( p q q p  q p )m 1 1 2 2 n n q a q a  q a m 即 1 1 2 2 n n 是 的整数 2 ．证明 3 | n(n 1)(2n 1) 证明 n( n 1 ) ( 2n 1) n n( 1n)( 2n  1 ) n( n 1 ) (n  2 ) n(  1n) n( 1 ) 又 n(n 1)(n 2) ，(n 1)n(n 2) 是连续的三个整数 故3 | n(n 1)(n 2), 3 | (n 1)n(n 1)  3| n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) 从而可知 3 | n(n 1)(2n 1) 3 ．若ax0 by0 是形如ax by （x ，y 是任意整数，a，b 是两不全为零的整数）的数中最小 整数，则(ax by ) | (ax by) ． 0 0 1 / 63 《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI ） 证： a, b 不全为0 在整数集合S  ax by | x, y Z 中存在正整数，因而有形如ax by 的最小整数   ax0 by0 x, y Z ，由带余除法有ax by (ax by )q r, 0 r ax by 0 0 0 0 S r 0 则 r (x x q)a ( y