chap3 线性方程组 线性代数同济大学(第五版)课件new.ppt

列变换 行变换 §2 矩阵的秩 一、矩阵的秩的概念 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个． 概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式 与元素a12相对应的余子式 相应的代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块 矩阵 A 的一个 2 阶子式 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 规定：零矩阵的秩等于零． 矩阵 A 的一个 3 阶子式 矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 ． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示． 如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 ． 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 ． 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 规定：零矩阵的秩等于零． 矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 显然， 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ； 若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) t ． 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| ． 当|A|≠0 时， R(A) = n ; 可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵． 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ． 矩阵 A 的一个 2 阶子式 矩阵 AT 的一个 2 阶子式 AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ． 例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解：在 A 中，2 阶子式 ． A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ． 例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零． 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 ，因此 R(B) = 3 ． 还存在其它3 阶非零子式吗？ 例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数． 二、矩阵的秩的计算 例：求矩阵 A 的秩，其中 ． 分析：在 A 中，2 阶子式 ． A 的 3 阶子式共有 (个)， 要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的． 一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 . 行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. 一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵. 两个等价的矩阵的秩是否相等？ 定理：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 证明思路： 证明 A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B) ． B 也可经由一次初等行变换变为 A，则 R(B)≤R(A)，于是 R(A) = R(B) ． 经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变． 设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为 BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ． 第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ． 证明： 设 R(A) = r ，且 A 的某个 r 阶子式 D ≠ 0 ． 当 或 时， 在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1 ． 由于D1 = D 或 D1 = －D 或 D1 =