[2018年最新整理](条件概率与乘法公式).ppt

1.4 条件概率与乘法公式 1.4.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率． 下面首先看一个例子: 一、条件概率 　 定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两事件， 若P(A) 0，则称 　　　　　　　　　　　　 (1.2) 为在A发生下的B的条件概率． 类似地，当P(B) 0时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为 　　　　　　　　　　 (1.3) 注意 （1）条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)没有必然关系.（2）当B ? A时，有 （3）当AB = ?时，有　　　　　　　　　　　 （4）　　　　　　　　　　　　　　　　 不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公理： (1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) ? 0； (2) 规范性：P(? | A) = 1； (3) 可列可加性：设 事件两两互不相容，则 　　　　　　　　　　　　　　　　 所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性质． 【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率． 解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 　1.4.2 乘法公式 由条件概率公式容易得到下面定理． 定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A) 0，则 (1.4) 如果P(B) 0，则　　 (1.5) 上面均称为事件概率的乘法公式． 定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况． 【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率． 解：设A = “任取的一件是合格品”， B = 任取的一件是一等品． 因为 　　　　　　　　　　　　 且B ? A 所以 【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？ 解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， 　 　B =“拨号不超过3次接通电话”， 则事件B的表达式为 利用概率的加法公式和乘法公式 若已知最后一位数字是奇数， 则 在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率公式． * 第1章 概率论基础 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1. 引例 1.4.1 条件概率 不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法： 在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。 〖解〗方法1[在原样本空间 中计算] 【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一 等品”，求条件概率P(B|A)。 因为“不放回依次取两只”[有序，排列]的每种不同 结果就是一个样本点,所以样本点总数为 A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其 所含样本点总数[有利场合数]为 而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总数[有利场合数]为 由古典概率公式得: 从而,由条件概率公式得: 方法2[在缩减样本空间A中计算] “第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点, 共有 故由古典概率公式