[2018年最新整理](全概率公式和贝叶斯公式).ppt

1.5 全概率公式和贝叶斯公式 　1.5.1 全概率公式 定理1.2 设试验E的样本空间为? ,A1,A2,…,An为E的一组事件，且满足： (1) A1,A2,…,An两两互不相容， i = 1,2,…,n； (2) 则对任一事件B，有 (1.7) (1.7)称为全概率公式． 称满足(1)和(2)的A1，A2，…，An为完备事件组或样本空间的一个划分． 证明：因为 由于A1，A2，…，An两两互不相容， 由有限可加性 由假设及乘法公式得到 利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完备事件组A1，A2，…，An; 寻求完备事件组A1，A2，…，An相当于找导致事件B发生的所有互不相容的事件． 【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率． 解: 设Ai =“任取的一箱为第i箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第j次取到的是一等品”，j = 1，2． 　由题意知 A1、A2和A3构成完备事件组， 　且 (1) 　　　　　　　　　　　　　　　　 由全概率公式得 (2) 因为　　　　　　　　　　　　　　　 由全概率公式得 1.5.2 贝叶斯公式 定理1.3 设试验E的样本空间为? ，B为E的事件，A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) 0， P(Ai) 0，i = 1，2，…，n，则 (1.8) (1.8)式称为贝叶斯公式． 特别有：　 　设事件A、B为试验E的两事件，由于A和　　 是一个完备事件组，若P(A) 0，　　　， P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为 【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率?； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率?． 解：设B =“顾客买下该箱玻璃杯”， 　　Ai =“抽到的一箱中有i件残次品”，i = 0,1,2． (1) 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。 显然A0，A1，A2是完备事件组． 由题意知 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式 【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95．对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎．现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？ 解: 设A =“某人确有肝炎”， B =“某人做此试验结果为阳性”； 由已知条件有 　　　　　　　　　　　　　　　　 从而 由贝叶斯公式，有 本题的结果表明，虽然 这两个概率都很高．但是，即试验阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这一点，将 和 搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果． 在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1，2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在这种信息下考察Ai的概率 它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率． 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用． * 引例： 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率. 2 1 3 如何求取得红球的