[2018年最新整理]14条件概率与乘法公式.ppt

* 第四节 条件概率与乘法公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A) P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， 于是P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中， 容易看到 P(A|B) P(A )=3/10， 又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记 B={取到正品} A={取到一等品}， P(A|B) P(A )=3/10， B={取到正品} P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例. A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题. 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1) 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 3. 条件概率的计算 P(B)0 例1.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是 男孩，问：另一个也是男孩的概率是多少？ 若已知第一胎是男孩，则第二胎也是男孩的 概率？ 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 可推广到n个事件 例如 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 所求为P(AB). 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} 所求为P(AB) . 设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} 若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件. 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 例2. 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求为P(B|A) . 见书中P17例1.4.2 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.　　　 入场 券 5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” 后抽比先抽的确实吃亏吗？ 到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大? “大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.” “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。” 例3.设10件产品中有4件不合格 品,现从中连续抽取两次,每次 一件,问第二次取到合格品的 概率为多少? 三.全概率公式: 定义1.4.2 完备事件组: 如果事件 满足