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数值微分与数值积分 一、基本内容提要 1. 差商型数值微分公式 （1）向前差商公式 （2）向后差商公式 （3）中心差商公式 2. 插值型数值微分 （1）两点数值微分公式（） 过节点的插值型数值微分两点公式为 其截断误差为 ， 其中。 （2）三点数值微分公式 过节点的插值型计算导数的三点公式为 其截断误差为 （3）二阶数值微分公式 住：此公式是三点公式。 3. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 将积分区间等分，步长 ，取等距节点 则柯特斯（Cotes）系数 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式为 又被称为N-C公式。 下面给出几种特殊的N-C求积公式。 （1）梯形求积公式： 当时，，相应的求积公式 称为梯形求积公式。 （2）辛普森（Simpson）公式 当时，，，，相应的求积公式为 （3）柯特斯（Cotes）公式 当时，令，，求积公式 称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes） 对任意次数不高于次的多项式均精确成立，而对某个次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度（Algebraic Accuracy）等分，步长，节点在每个小区间上用梯形公式 并求和 得到的公式 称为复化梯形公式。 6. 复化辛普森（Simpson）积分 若将积分区间分成等分，步长，节点 在每个小区间上使用Simpson公式 则有 其中，对其求和可得 得到的公式 则称为复化Simpson公式。 7. 龙贝格(Romberg)求积公式 Romberg积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，经Richardson 外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍： 对积分，使用复化梯形公式并记 再根据Euler-Maclaurin公式，可得 取其中的，由Richardson 外推公式得 设，则，且有 如此重复Richardson公式可得 若记，则上式可记为 此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。 8. 高斯(Gauss)求积公式 Gauss型求积公式是指具有次代数精度的形如插值型求积公式，其节点称为Gauss点。 下面介绍几种常用的Gauss型求积公式： （1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式 其Gauss点为Legendre多项式 的零点，求积系数为 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求积公式 其Gauss点及求积系数为 ， （3）高斯-拉盖尔（Gauss - Laguerre ）求积公式 其Gauss点为Laguerre多项式 的零点，求积系数为 （4）高斯-埃尔米特（Gauss – Hermite）求积公式 其Gauss点为Hermite多项式 的零点，求积系数为 ．100． 实用数值分析解题指导 第四章 数值微分与数值积分 ． 101 ．