浙江大学概率论与数理统计习题.PPT

第三章习题 1. 16(1) 3. 6. 7. 9. 10. 14. 16(2) 18. 22. 33. 35. * 在一个箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下: 若第一次取出的是正品, 若第一次取出的是次品; 若第二次取出的是正品, 若第二次取出的是次品. 试分别就(1),(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律. 解 设事件Ak表示“第k次取出的是正品”,k=1,2. P{X=0,Y=0}=P(A1A2) (1)放回抽样 =P(A1)P(A2) P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) P{X=1,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) X 0 1 Y 1 5/36 1/36 0 25/36 5/36 P{X=i} 5/6 1/6 1 P{Y=j} 5/6 1/6 X和Y的联合分布律列表如下 (2)不放回抽样 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) P{X=1,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) X 0 1 Y 1 10/66 1/66 0 45/66 10/66 P{X=i} 5/6 1/6 1 P{Y=j} 5/6 1/6 (1) (2) 问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) X和Y的边缘分布如下所示 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立. (2) P{X=1,Y=0}=10/66 P{X=1}P{Y=0}=(1/6)?(5/6)=5/36 ? 故不放回抽样X和Y不相互独立. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)确定常数k; (2)求P{X1,Y3}; (3)求P{X1,5}; (4)求P{X+Y?4}. 解 (1)由归一性 2 x 4 2 y 故k=1/8. (2) P{X1,Y3} (3)P{X1,5} (4)P{X+Y?4}= D x+y=4 G 2 x 4 2 y (1) (2) (3) (4) (5) 求分布函数 2 x 4 2 y (1)y2,-?x?,或x0,-?y?时,F(x,y)=0 . (2)0?x2,2?y4时, 2 x 4 2 y (x,y) (1) (x,y) (2) (3) x?2,2?y4时, 2 x 4 2 y (x,y) (3) (4)0?x2,y?4时, 2 x 4 2 y (x,y) (4) (5) x?2,y?4时, 2 x 4 2 y (x,y) (5) 总之 将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次中出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律. 解 先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下: 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 p 3 2 2 2 1 1 1 0 Y 2 2 1 1 1 1 0 0 X HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 样本点e Y 0 1 2 3 X 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 P{X=i} P{Y=j} 由表中可知,X所有可能取的值为0,1,2, Y所有可能取的值为0,1,2,3. X,Y的联合分布律如右表所示. (X,Y)关于X的边缘分布律可用X= i时Y取所有可能取的值的概率相加而得; (X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y= j时X取所有可能取的值的概率相加而得. pk 0 1 2 3 Y pk