5.1化高阶方程为1阶方程组.ppt

第四章 线性微分方程（组）的理论与解法;5.1 化任意正规型微分方程和方程组为一阶正规型微分方程组 在第一章中，我们给出了微分方程的阶和解等概念，这些概念可以对方程组类似的加以定义。先从两个未知函数的情形说起，这时方程组的一般形式是 ;其中x是自变量，y和z是未知函数，F和G是它们所依赖的m+n+1个变量的已知函数。出现在方程中的未知函数y的导数的最高阶数称为方程组（5.1.1）关于y的阶。未知函数z的导数的最高阶数称为方程组（5.1.1）关于z的阶。而m+n则称为方程组（5.1.1）的阶。;;而;关于含有任意多个未知函数的方程组的初 值问题或Cauchy问题的提法也可以类推。;关于正规性方程（组）和隐形方程（组）的说法对于含有任意多个未知函数的微分方程组也是适用的。以后我们将着重研究含有n个未知函数 的n个一阶常微分方程构成的常微分方程组，如果已经就 解出，则它的一般形式是 ;或 ;对于正规型微分方程; ;（5.1.6）在区间I上的解，令 ; 反之，设;类似地，含有n个未知函数的高阶微分方程组，总可以化成形如（5.1.5）的一阶微分方程组。以两个未知函数的（5.1.3）为例，与其等价的一阶微分方程组是 ;因此我们将大部分注意力放在（5.1.5）型方程的研究上。对于这类方程组进行研究得到的结论，通过上述等价性，立即可以推广到任意正规型方程或方程组上去。 如果方程组（5.1.5）中每个方程中的;其中系数;当