§方程组与高阶方程的情形.PPT

第六节 方程组与高阶方程的情形 这是一步法，利用节点 上的值 ， ， * ? 2009, Henan Polytechnic University * §6 方程组与高阶方程的情形 第五章 常微分方程数值解法 * 5.6.1 一阶方程组 一阶微分方程组的一般形式为： = ? = ? )) ( , ... ), ( , ( ) ( ... ... ... )) ( , ... ), ( , ( ) ( 1 1 1 1 x y x y x f x y x y x y x f x y m m m m 初值 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 ) ( , ... , ) ( , ) ( m m y x y y x y y x y = = = 将问题记作向量形式，令： 前述所有公式皆适用于向量形式。 以两个方程构成的方程组为例： 设 为节点上的近似解， 则有改进的Euler格式为 预报： 校正： 例 用改进的Euler法求解初值问题 取步长h=0.1，保留六位小数。 解: 改进的Euler法公式为 预报： 校正： 由初值 ,计算得 相应的四阶龙格—库塔格式（经典格式）为 式中 由上式顺序计算 然后代入 即可求得 节点上的 多个方程的Runge-Kutta形式可写为： 5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组 = = ? = ? = - - - 1 0 ) 1 ( 1 0 0 0 ) 1 ( ) ( ) ( , ... , ) ( , ) ( ) , ... , , , ( n n n n a x y a x y a x y y y y x f y 化作一阶微分方程组求解。 引入新变量 初值条件为： 即可将n阶方程化为如下的一阶方程组 例如,二阶微分方程的初值问题 在引入新的变量 后,即化为一阶方程组初值问题: 上式为一个一阶方程组的初值问题。 应用四阶龙格-库塔公式得